www.archive-org-2014.com » ORG » W » WIKIPEDIA

Choose link from "Titles, links and description words view":

Or switch to "Titles and links view".

    Archived pages: 2198 . Archive date: 2014-09.

  • Title: Macierz – Wikipedia, wolna encyklopedia
    Descriptive info: Macierz.. Ten artykuł od 2012-02 wymaga.. uzupełnienia źródeł.. podanych informacji.. Możliwe, że ten artykuł w całości albo w części zawiera informacje nieprawdziwe.. Informacje bez źródeł w każdej chwili mogą zostać zakwestionowane i usunięte.. Pomóż Wikipedii i dodaj.. przypisy.. do materiałów opublikowanych w wiarygodnych źródłach.. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w.. dyskusji tego artykułu.. Po wyeliminowaniu niedoskonałości prosimy usunąć szablon {{Dopracować}} z kodu tego artykułu.. Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego.. inne znaczenia tego słowa.. Niniejszy artykuł jest częścią cyklu.. macierze.. Niektóre typy macierzy.. macierz diagonalna.. macierz dodatnio określona.. macierz elementarna.. macierz hermitowska.. macierz idempotentna.. macierz jednostkowa.. macierz klatkowa.. macierz nieosobliwa.. macierz nilpotentna.. macierz ortogonalna.. macierz osobliwa.. macierz rzadka.. macierz schodkowa.. macierz skalarna.. macierz symetryczna.. macierz trójkątna.. macierz unitarna.. macierz wstęgowa.. macierz zerowa.. Operacje na macierzach.. mnożenie przez skalar.. dodawanie i odejmowanie.. mnożenie macierzy.. odwracanie macierzy.. transpozycja macierzy.. sprzężenie macierzy.. operacje elementarne.. macierz dopełnień algebraicznych.. macierz dołączona.. diagonalizacja.. postać Jordana.. Inne zagadnienia.. wyznacznik macierzy.. ślad macierzy.. widmo macierzy.. minor macierzy.. rząd macierzy.. wielomian charakterystyczny.. edytuj ten szablon.. – w.. matematyce.. układ liczb, symboli lub wyrażeń zapisanych w postaci prostokątnej tablicy.. Choć słowo „macierz” oznacza najczęściej macierz dwuwskaźnikową, to możliwe jest rozpatrywanie macierzy wielowskaźnikowych (zob.. notacja wielowskaźnikowa.. Macierze jednowskaźnikowe nazywa się często.. wektorami wierszowymi lub kolumnowymi.. , co wynika z zastosowań macierzy w.. algebrze liniowej.. W informatyce macierze modeluje się zwykle za pomocą (najczęściej dwuwymiarowych).. tablic.. Macierze wprowadza się często jako sposób skondensowanego zapisu.. układów równań liniowych.. , co ma na celu wyeliminowanie powtarzających się elementów standardowej notacji.. układów równań.. tego rodzaju z wieloma niewiadomymi.. [a].. Same układy pojawiają się wprost podczas algebraizacji zagadnień geometrycznych (.. równania liniowe.. parametryzujące.. punkty.. proste.. płaszczyzny.. itd.. ).. Wyrosłym na tym gruncie, podstawowym przeznaczeniem macierzy jest jednak sformułowanie spójnego, a zarazem zwartego sposobu zapisu pojęć i twierdzeń.. algebry liniowej.. , a więc przede wszystkim opisu.. przekształceń liniowych.. między dwoma.. przestrzeniami liniowymi.. nad wspólnym.. ciałem.. (skończeniewymiarowych, z ustalonymi.. bazami.. ), czy.. form dwuliniowych.. na przestrzeni liniowej (skończonego wymiaru z wybraną bazą).. Nieomalże wszystkie inne zastosowania wynikają z tych interpretacji −.. macierz Jacobiego.. macierz Hessego.. , czy.. gradient.. obecne w.. analizie wielowymiarowej.. to macierze.. pochodnych.. (przedstawiane w ustalonych bazach, zwykle.. standardowych.. ); podobnie ma się rzecz z wieloma możliwościami.. rozkładu macierzy.. na iloczyn macierzy o ustalonych własnościach − odpowiadają one.. złożeniom.. odpowiednich przekształceń.. Macierze bada się również niezależnie od jakichkolwiek zastosowań (rozwijając w ten sposób dostępny aparat pojęciowy); samodzielny dział matematyki im poświęcony nazywa się.. teorią macierzy.. Ponieważ macierze można traktować jak („długie”) wektory (najczęściej nad pewnym ciałem, takim jak np.. liczby rzeczywiste.. liczby zespolone.. ), to w wielu wypadkach możliwe jest wprowadzenie przeróżnych.. struktur algebraicznych.. topologicznych.. na różnego rodzaju przestrzeniach macierzy, co wynika stąd, iż zbiór macierzy ustalonego.. typu.. tworzy skończeniewymiarową.. przestrzeń liniową.. z działaniami na macierzach (traktowanych jak wektory, tzn.. wprowadzonymi „po wskaźnikach”.. ) − każda z tych przestrzeni ma identyczną strukturę z.. przestrzenią współrzędnych.. nad tym ciałem.. Dla macierzy nad ciałami liczb rzeczywistych, czy zespolonych można przykładowo wprowadzić strukturę.. przestrzeni euklidesowej.. z jej naturalnymi strukturami, a nawet pójść krok dalej: wprowadzić strukturę.. algebry Liego.. , co w dalszym stopniu zwiększa liczbę zastosowań teorii macierzy.. W ogólności.. struktura algebraiczna.. w zbiorze współczynników umożliwiająca wprowadzenie.. działań algebraicznych.. na macierzach może być.. pierścieniem przemiennym.. , a nawet.. półpierścieniem.. ; w.. teorii reprezentacji.. wykorzystuje się możliwość.. zanurzenia.. grup.. w przestrzeniach liniowych, a więc użycia teorii macierzy w.. teorii grup.. Dzięki temu macierze znalazły zastosowanie również w.. kryptografii.. rachunku prawdopodobieństwa.. elektronice.. − część z nich omówiono w.. Uogólnieniach.. Interpretacje geometryczne wykorzystywane są również w.. grafice komputerowej.. do reprezentowania przekształceń świata przedstawionego w trzech wymiarach i odwzorowywania go na dwuwymiarowym ekranie.. Źródłem tych zastosowań jest możliwość zwartego przedstawienia.. reprezentujących wirtualne obiekty, jak i sposoby ich przekształcania oraz łatwość odczytu ich własności, rozwiązań itp.. [b].. W artykule zakłada się, że wszystkie macierze mają współczynniki z ustalonego.. ciała.. o ile nie zaznaczono inaczej.. Spis treści.. 1.. Wprowadzenie i oznaczenia.. 2.. Podstawowe działania.. 3.. Macierze prostokątne.. 1.. Układy równań liniowych.. 2.. Przekształcenia liniowe.. 4.. Macierze kwadratowe.. Wyznacznik.. Niezmienniczość i zagadnienie własne.. 3.. Symetria i określoność.. 5.. Aspekty numeryczne.. 6.. Ujęcie algebraiczne i uogólnienia.. Definicja.. Klasy macierzy a wybór bazy.. Rozkłady macierzy.. 4.. Współczynniki, algebra i grupy macierzy.. 5.. Macierze nieskończone i puste.. 6.. Tensory.. 7.. Zastosowania.. Teoria grafów.. Analiza i geometria.. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka.. Symetrie i przekształcenia w fizyce.. Kombinacje liniowe stanów kwantowych.. Drgania swobodne.. 7.. Optyka geometryczna.. 8.. Elektronika.. 8.. 9.. Zobacz też.. 10.. Uwagi.. 11.. Przypisy.. 12.. Bibliografia.. 13.. Linki zewnętrzne.. [.. edytuj.. |.. edytuj kod.. ].. Kolumny macierzy.. Wiersze macierzy.. Poziomy układ elementów znajdujących się w jednej linii nazywa się.. wierszem.. , a pionowy –.. kolumną.. macierzy.. Dane wpisane w macierz nazywa się jej.. elementami.. współczynnikami.. lub.. wyrazami.. ; każdy element można jednoznacznie zidentyfikować podając jego.. wskaźniki.. indeksy.. − zwykle w tej kolejności: numer wiersza i kolumny macierzy, w której stoi.. Para złożona z liczby wierszy i kolumn nazywana jest.. typem.. macierzy − często liczby te oddziela się znakiem.. Wyrazy macierzy otacza się przeważnie nawiasami okrągłymi.. [1].. lub kwadratowymi (w starszych pozycjach można znaleźć podwójne kreski.. [2].. , co dziś może być źródłem pomyłek, np.. wartością bezwzględną.. wyznacznika.. bądź.. normą.. macierzy; zob.. ); stąd napisy.. oznaczają te same macierze − w dalszej części artykułu stosowane będą nawiasy kwadratowe.. W ten sposób powyższa macierz złożona jest z 4 wierszy i 3 kolumn, tzn.. jest typu.. Liczba.. występuje w tej macierzy dwukrotnie: na przecięciu pierwszego wiersza i pierwszej kolumny oraz na przecięciu trzeciego wiersza i drugiej kolumny − innymi słowy element macierzy o wskaźnikach.. to.. Ostatnia (trzecia) kolumna składa się z elementów.. w tej właśnie kolejności.. Nie ma ogólnie przyjętej metody oznaczania macierzy, przy czym trendy podlegały zmianom w czasie.. Sposób oznaczania typu nie jest ustalony − zwykle bywa zapisywany oddzielnie (jak w tym artykule).. W artykule przyjęto konwencję stosowania tych samych liter alfabetu łacińskiego na oznaczenie macierzy i jej elementów − dużych (pogrubionych, prostych) do oznaczenia macierzy i małych (pochylonych), o ile są.. skalarami.. , ze wskaźnikami w.. indeksie dolnym.. (zwykle, choć spotyka się oznaczenia ze wskaźnikami w indeksie górnym albo po jednym w każdym z indeksów; wśród innych sposobów zapisu można wymienić również notację funkcyjną, zob.. ) na oznaczenie jej elementów.. Tak więc elementy macierzy oznaczonej literą.. będą zapisywane symbolicznie jako.. gdzie.. jest wskaźnikiem elementu leżącego na przecięciu.. -tego wiersza i.. -tej kolumny, lub jeśli nie wprowadza to niejasności,.. lub po prostu.. – taki element (współczynnik, wyraz) nazywa.. ogólnym.. Macierz złożoną z elementów.. oznacza się otaczając wyraz ogólny nawiasami okrągłymi,.. lub (jak w tym artykule) kwadratowymi,.. W ten sposób macierz.. będzie oznaczana.. tzn.. Macierz o tej samej liczbie kolumn, co liczba wierszy nazywa się.. kwadratową.. − wspomnianą wspólną liczbę kolumn i wierszy nazywa się wtedy.. stopniem.. tej macierzy; macierze nie będące kwadratowymi nazywa się dla wyróżnienia.. prostokątnymi.. Jeśli macierz jest kwadratowa, to ciąg elementów o równych wskaźnikach wiersza i kolumny począwszy od jeden do jej stopnia nazywa się.. główną przekątną.. główną diagonalą.. lub często po prostu.. przekątną.. diagonalą.. ) macierzy kwadratowej; przekątne leżące nad lub pod główną przekątną nazywa się odpowiednio.. nadprzekątną.. podprzekątną.. macierzy; przekątną, której wiersz rośnie od pierwszego do ostatniego, a kolumna maleje od ostatniej do pierwszej nazywa czasem.. przeciwprzekątną.. antyprzekątną.. Pojęcia te uogólnia się niekiedy na dowolne macierze prostokątne.. Dla macierzy.. stopnia.. jej główną przekątną jest ciąg elementów.. równych odpowiednio.. a antyprzekątną − ciąg złożony z elementów.. równych kolejno.. Jej nadprzekątną i podprzekątną tworzą odpowiednio pary elementów.. oraz.. Podmacierz.. danej macierzy to dowolny układ jej elementów powstały przez „skreślenie” pewnej liczby wierszy i kolumn sam tworzący macierz; w szczególności podmacierze (kwadratowe) zawierające kolejne wiersze i kolumny o tych samych wskaźnikach, poczynając od pierwszego, nazywa się.. podmacierzami głównymi.. ; innymi słowy są to podmacierze kwadratowe zawierające pewną liczbę początkowych wyrazów głównej przekątnej.. Macierz klatkowa.. to macierz, w której wprowadzono podział elementów na grupy kolejnych wierszy i kolumn − obrazowo czyni się to prowadząc poziome i pionowe linie między wierszami i kolumnami macierzy dzieląc ją na podmacierze nazywane.. klatkami.. Podział ten umożliwia traktowanie macierzy klatkowej jako macierzy, której elementami są inne macierze (klatki); podobnie macierze klatkowe można zestawiać z „pasujących” macierzy.. Jeżeli dane są macierze:.. odpowiednio typów.. to można z nich zestawić macierz klatkową.. Osobne artykuły:.. dodawanie.. mnożenie.. transpozycja.. Macierze.. uważa się za.. równe.. , jeśli mają ten sam typ i równe odpowiadające sobie elementy, tzn.. dla każdej możliwej pary.. zachodzi.. Schematyczne przedstawienie iloczynu.. macierzy.. Sumę.. definiuje się „po współczynnikach”, tzn.. za pomocą wzoru.. dla wszystkich.. Mnożenie przez skalar.. oraz liczby.. również definiuje się „po współczynnikach”, czyli.. dla dowolnych.. Działanie.. mnożenia macierzy.. można określić na wiele sposobów.. [c].. , najczęściej jednak „mnożenie macierzy” oznacza tzw.. iloczyn Cauchy'ego macierzy.. (zob.. przekształcenia liniowe.. ): dla macierzy.. typu.. dany jest on jako taka macierz.. oznaczana.. dla której.. Mnożenie to jest.. łączne.. , ale nie jest.. przemienne.. ; ponadto jest ono obustronnie.. rozdzielne.. względem dodawania, a do tego zgodne z mnożeniem przez skalar.. Przestawienie.. danej macierzy.. zamiana jej kolumn i wierszy miejscami (z zachowaniem kolejności) pozwala na zwięzłe przedstawienie wielu jej własności; macierz.. transponowaną.. przestawioną.. względem macierzy.. definiuje się jako macierz.. przy czym.. Operacjami elementarnymi.. na macierzy nazywa się operacje: zamiany miejscami dwóch wierszy macierzy, pomnożenia jednego z wierszy przez liczbę różną od zera oraz dodania wiersza macierzy do innego jej wiersza.. Macierz elementarna.. to macierz powstała z macierzy jednostkowej w wyniku jednej operacji elementarnej na jej wierszach.. Podobnie definiuje się operacje elementarne na kolumnach danej macierzy.. układ równań liniowych.. Układ.. równań liniowych.. o.. zmiennych postaci.. można zapisać w postaci równania macierzowego.. dla danych macierzy.. nazywanej.. macierzą główną.. układu,.. Macierz klatkową postaci.. nazywa się.. macierzą uzupełnioną.. rozszerzoną.. układu.. W celu uzyskania rozwiązania układy równań liniowych przekształca się za pomocą operacji elementarnych, które zachowują zbiór rozwiązań układu; odpowiadają im operacje elementarne na wierszach macierzy, których przykładanie można postrzegać jako mnożenie lewostronne macierzy uzupełnionych układu przez macierze elementarne (mnożenie prawostronne odpowiada operacjom elementarnym na kolumnach macierzy).. przekształcenie liniowe.. macierz przekształcenia liniowego.. Wektory zapisane jako kolumny macierzy typu.. odpowiadają bokom równoległoboku o wspólnym wierzchołku w zerze otrzymanego z kwadratu jednostkowego.. Każda macierz.. opisuje przekształcenie liniowe.. przestrzeni współrzędnych.. odwzorowujące wektor.. w wektor.. Przekształceniu temu odpowiada mnożenie macierzy.. przez macierz.. o tych samych współczynnikach, co wektor.. dając w wyniku macierz.. o współczynnikach identycznych z tymi w wektorze.. Odwrotnie: każde przekształcenie liniowe.. zadaje macierz.. -ta współrzędna wektora.. jest wektorem o współrzędnych równych zeru poza.. -tą współrzędną równą jedynce.. Przekształcenie.. jest więc reprezentowane przez macierz.. zaś.. jest macierzą przekształcenia liniowego.. W ten sposób układ równań liniowych.. można traktować jako problem opisu przekształcenia liniowego.. gdzie.. istnienie rozwiązań jest tożsame z istnieniem wektora.. spełniającego.. (czyli należeniem.. do.. obrazu.. ),.. jednoznaczność rozwiązań jest równoważna.. różnowartościowości.. przekształcenia.. (czyli.. trywialności.. jego.. jądra.. Podejście to tłumaczy często stosowane nazwy.. wektor zmiennych.. wektor wyrazów wolnych.. odpowiednio macierzy.. i macierzy.. którym odpowiadają wektory.. W ogólności macierze odpowiednio typu.. (jednokolumnowe i jednowierszowe) nazywa się zwykle.. wektorami kolumnowymi.. wektorami wierszowymi.. Przykładowo macierz rzeczywistą.. można postrzegać jako przekształcenie.. kwadratu jednostkowego.. równoległobok.. o wierzchołkach.. Równoległobok na rys.. obok otrzymano poprzez przemnożenie macierzy.. kolejno przez macierze.. co odpowiada przykładaniu przekształcenia.. do wektorów wskazujących wierzchołki kwadratu jednostkowego.. Powinowactwo względem osi poziomej.. Symetria względem osi pionowej.. Przekształcenie ekwiafiniczne.. Jednokładność.. o skali.. Obrót.. o kąt miary.. Tabela przedstawia macierze stopnia 2 z odpowiadającymi im przekształceniami płaszczyzny: niebieska kratka zawierająca pewien kształt jest przekształcana na zieloną; czarny punkt oznacza.. początek przestrzeni.. Definicja standardowego mnożenia macierzy jest dobrana tak, by we.. wzajemnie jednoznacznej odpowiedniości.. przekształceń liniowych i macierzy składaniu pierwszych odpowiadało mnożenie drugich: jeśli przekształceniu.. odpowiada macierz.. to złożeniu.. odpowiada wtedy macierz.. gdyż działaniu.. odpowiada mnożenie macierzy.. Z tego powodu macierz.. traktuje się zwykle jak odpowiadające mu przekształcenie liniowe.. a wektory.. utożsamia się z ich macierzami.. w związku z tym spotyka się często zapis.. oznaczający działanie przekształcenia liniowego na wektorze.. zapis.. jest nieco bardziej formalny zważywszy na własność liniowość przekształcenia.. Rzędem.. rząd.. odpowiadającego jej przekształcenia liniowego.. czyli.. wymiar.. , tzn.. największą liczbę.. liniowo niezależnych.. wierszy bądź kolumn macierzy (liczba niezależnych równań w układzie równań liniowych).. Twierdzenie o rzędzie.. mówi, że suma wymiaru jądra i rzędu macierzy jest równa liczbie jej kolumn.. endomorfizm.. macierz endomorfizmu.. podprzestrzeń liniowa.. macierz odwrotna.. ślad.. Przekształcenie liniowe przestrzeni liniowej.. (albo dowolnej innej) w siebie nazywa się jej.. endomorfizmem liniowym.. ; macierz endomorfizmu jest zawsze kwadratowa.. Przestrzenie liniowe, które zawierają się w innych przestrzeniach liniowych, nazywa się ich.. podprzestrzeniami.. (liniowymi); przykładami podprzestrzeni dowolnej przestrzeni są.. podprzestrzeń niewłaściwa.. , czyli ona sama, oraz.. podprzestrzeń zerowa/trywialna.. , czyli zawierają wyłącznie.. wektor zerowy.. (por.. przykłady przestrzeni liniowych.. Można więc powiedzieć, że endomorfizm przekształca przestrzeń w pewną jej podprzestrzeń — jest to kluczowa, a zarazem znamienna własność tych przekształceń liniowych.. Macierzą diagonalną.. nazywa się macierz kwadratową, której wszystkie niezerowe elementy znajdują się wyłącznie na głównej przekątnej.. Często zapisuje się ją jako.. jest jej stopniem.. Macierze kwadratowe o elementach nad (odp.. pod) przekątną główną równych zeru nazywa się.. dolnotrójkątnymi.. (odp.. górnotrójkątnymi.. ); macierze jednocześnie dolno- i górnotrójkątne są diagonalne.. Macierz trójkątną mającą na głównej przekątnej jedynki nazywa się.. unitrójkątną.. Śladem.. nazywa się sumę jej elementów na głównej przekątnej, przy czym.. Macierze postaci.. macierzami skalarnymi.. Macierz skalarną.. macierzą jednostkową.. Jeżeli.. gdzie wszystkie powyższe macierze są kwadratowe ustalonego stopnia, to macierz.. jest wyznaczona jednoznacznie − nazywa się ją.. macierzą odwrotną.. i oznacza symbolem.. o macierzy.. mówi się zaś wtedy, że jest.. odwracalna.. wyznacznik.. orientacja.. równoległościan wielowymiarowy.. Macierz nad strzałką reprezentuje przekształcenie liniowe.. przestrzeni.. w siebie, które odwzorowuje wektory.. rozpinające niebieski kwadrat na wektory.. rozpinające zielony równoległobok; jej wyznacznik wynosi.. co oznacza, że pole powierzchni zielonego równoległoboku jest równe polu powierzchni niebieskiego kwadratu, lecz przekształcenie zamienia kolejność wektorów, czyli zmienia ich orientację na przeciwną: z lewoskrętnej na prawoskrętną – innymi słowy zmienia.. kąt zorientowany.. na przeciwny (zob.. strzałka między wektorami).. Wyznacznikiem.. macierzy kwadratowej.. nazywa się liczbę kodującą pewne właściwości przekształcenia.. reprezentowanego przez tę macierz: jego.. wartość bezwzględna.. jest równa (w.. ).. polu powierzchni.. pewnego.. równoległoboku.. , lub (w.. objętości.. obrazu.. sześcianu jednostkowego.. równoległościanu.. [d].. , a znak mówi o orientacji przekształcenia − jest on dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy przekształcenie zachowuje orientację.. [e].. ; macierz o wyznaczniku jednostkowym reprezentuje.. przekształcenie równopolowe.. Macierz o zerowym wyznaczniku nazywa się.. osobliwą.. zdegenerowaną.. (przekształcenie „spłaszcza” bądź „skleja”), w przeciwnym przypadku nazywa się ją.. nieosobliwą.. niezdegenerowaną.. Macierz jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieosobliwa, co ma z kolei miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy jej rząd jest maksymalny, czyli równy jej stopniowi.. Stąd układ równań liniowych o kwadratowej macierzy głównej ma jednoznaczne rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy wspomniana macierz ma niezerowy wyznacznik.. [f].. układ równań liniowych: charakteryzacja rozwiązań.. Wyznaczniki stosuje się także do rozwiązywania układów równań liniowych metodą.. wzorów Cramera.. , gdzie iloraz wyznaczników dwóch powiązanych macierzy kwadratowych jest równy wartości każdej ze zmiennych układu.. Wyznacznik macierzy stopnia drugiego dany jest wzorem.. Wyznacznik macierzy stopnia trzeciego można obliczyć za pomocą.. reguły Sarrusa.. , podczas gdy.. wzór Leibniza.. (znany również jako permutacyjna definicja wyznacznika) uogólnia te wzory na macierze dowolnych stopni.. Twierdzenie Cauchy'ego o wyznacznikach.. mówi, że wyznacznik iloczynu macierzy jest równy iloczynowi ich wyznaczników,.. Dodanie wielokrotności dowolnego wiersza do innego (kolumny do innej) nie zmienia wartości wyznacznika; zamiana miejscami dwóch wierszy (kolumn) zmienia znak wyznacznika na przeciwny (zob.. własności operacji elementarnych.. Korzystając z tych operacji dowolną macierz można przekształcić w macierz dolno- lub górnotrójkątną, a wyznacznik tego rodzaju macierzy jest równy iloczynowi elementów na przekątnej głównej (w szczególności jest to prawda dla macierzy diagonalnych).. Rozwinięcie Laplace'a.. umożliwia wyrażenie wyznacznika za pomocą.. minorów.. wyznaczników podmacierzy głównych (twierdzenie to umożliwia rekurencyjne zdefiniowanie wyznacznika począwszy od wyznacznika macierzy stopnia pierwszego jako jej jedynego elementu, czy nawet wyznacznika macierzy zerowego stopnia równego z definicji jedności.. [g].. Minory podmacierzy głównej (tzn.. zawierające elementy głównej przekątnej) nazywa się.. minorami głównymi.. ; gdy minor główny zawiera kolejne, począwszy od pierwszego, elementy głównej przekątnej, nazywa się go.. wiodącym minorem głównym.. Wśród wszystkich niezerowych minorów tej macierzy istnieje choć jeden o największym stopniu; rząd macierzy wyznaczony jest przez stopień tego minoru (nie przekracza więc liczby jej wierszy, czy kolumn).. Każdy niezerowy minor macierzy stopnia równego jej rzędowi nazywa się.. minorem bazowym.. tej macierzy.. Wiele wyników algebry liniowej daje się zwięźle wyrazić w języku minorów za pomocą tzw.. macierzy dołączonej.. (bądź.. przestawionej.. względem niej.. macierzy dopełnień algebraicznych.. ) zbudowanej z tzw.. dopełnień algebraicznych.. definiowanych jako minory ustalonego znaku.. podprzestrzeń niezmiennicza.. wektory oraz wartości własne.. Każdy endomorfizm.. odwzorowuje całą przestrzeń, na której jest określony, w siebie (na mocy definicji endomorfizmu); podobnie zawsze odwzorowuje on w siebie podprzestrzeń zerową (wprost z definicji przekształcenia liniowego).. W ogólności może on jednak odwzorowywać daną podprzestrzeń w niemającą z nią związku, zupełnie inną podprzestrzeń.. Informacja o tym, które z podprzestrzeni są.. -.. niezmiennicze.. , czyli odwzorowywane przez.. w siebie, może ułatwić zrozumienie tego jak przekształcenie.. działa na całej przestrzeni poprzez badanie jak działa na niezależnych od siebie podprzestrzeniach składowych.. [h].. W kontekście macierzy podprzestrzenie niezmiennicze mogą ułatwić ich rozkład (zob.. [i].. Jako najprostsze i niosące przy tym istotną informację, szczególnie interesujące są jednowymiarowe podprzestrzenie niezmiennicze opisywane przez kierunek jednego (niezerowego) wektora.. nazywanego.. wektorem własnym.. danego endomorfizmu.. Oznacza to, że jest on przekształcany przez endomorfizm.. na pewną swoją wielokrotność:.. Liczbę.. wartością własną.. (stowarzyszoną z wektorem.. ) danego endomorfizmu.. w zapisie macierzowym równanie to przyjmuje postać.. jest macierzą reprezentującą.. jest macierzą współczynników wektora.. (w tej samej ustalonej bazie).. Powyższe równanie można przekształcić do równoważnej postaci.. czyli zapisać w formie układu równań liniowych,.. jest.. , co ze względu na niezerowość.. oznacza wymaganie, by macierz.. tego układu była.. nieodwracalna.. lub, równoważnie,.. osobliwa.. Funkcja skalarna.. wielomianem.. nazywanym.. wielomianem charakterystycznym.. wielomian ten ma co najwyżej.. różnych pierwiastków, którymi są wartości własne macierzy.. [j].. Zgodnie z.. twierdzeniem Cayleya-Hamiltona.. dla macierzy.. spełnione jest równanie macierzowe.. przykładowo jeśli.. skąd.. czyli np.. Każda z wartości własnych opisuje przekształcenie wzdłuż wektorów własnych − tak wyznacznik, będący iloczynem wartości własnych.. [k].. , jak i ślad, równy sumie wartości własnych, stanowią istotną informację o rodzaju przekształcenia liniowego: ślad może być interpretowany jako.. nieskończenie mała.. zmiana objętości (jako.. pochodna.. wyznacznika będącego.. , zob.. wzór Jacobiego.. ), podczas gdy dodatni znak wyznacznika mówi o tym, czy przekształcenie jest złożeniem parzystej liczby.. symetrii.. [l].. (zachowuje.. orientację.. ), a jego.. moduł.. opisuje przyrost wzdłuż każdego z wektorów własnych przekształcenia (tzn.. jego bezwzględną zmianę pola bądź objętości).. Przykładowo dla endomorfizmów opisanych w sekcji.. wektory.. są wektorami własnymi symetrii, przekształcenia ekwiafinicznego i jednokładności z wartościami własnymi odpowiednio.. Poglądowo oznacza to, że w przekształceniach tych łatwo można wyróżnić część działającą „w poziomie” i „w pionie”: w symetrii to kierunek „poziomy” zostaje odbity, a „pionowy” zachowany; jednostkowy iloczyn wartości własnych (tj.. wyznacznik) w przekształceniu ekwiafinicznym wskazuje zachowanie pola powierzchni, z kolei równe wartości własne dla jednokładności oznaczają, że skalowanie odbywa się w każdym z kierunków w tym samym stopniu.. Jedynym wektorem własnym powinowactwa jest.. o podwójnej wartości własnej.. poglądowo oznacza to, że w przekształceniu zachowywany jest tylko kierunek „poziomy” (pojedynczy wektor własny), przy czym odległości między punktami w tym kierunku również są zachowane (jednostkowa stowarzyszona wartość własna).. Wektory i wartości własne przytoczonych obrotów nie wyrażają się za pomocą.. wielkości rzeczywistych.. [m].. forma dwuliniowa.. forma kwadratowa.. określoność.. Macierz.. określoność; stowarzyszona forma kwadratowa.. wektory spełniające.. wykres.. nieokreślona.. dodatnio określona.. Hiperbola.. Elipsa.. Paraboloidy:.. hiperboloiczna.. eliptyczna.. Macierz kwadratową.. równą swojemu.. przestawieniu.. symetryczną.. ; jeśli jest ona równa przeciwności swojego przestawienia,.. to nazywa się ją.. antysymetryczną.. W przypadku macierzy zespolonych symetrię macierzy zastępuje się często jej.. hermitowskością.. (samosprzężonością), tzn.. rozpatruje się.. gdzie gwiazdka oznacza.. sprzężenie hermitowskie.. macierzy, tzn.. złożenie przestawienia macierzy ze.. sprzężeniem zespolonym.. jej elementów.. Każdej.. formie dwuliniowej.. można  ...   słowo-dokument.. ; ang.. document-term [frequency] matrix.. DTM.. term-document [frequency] matrix.. TDM.. ), np.. tf-idf.. , do śledzenia częstości pewnych słów w kilku dokumentach.. Liczby zespolone.. można przedstawić za pomocą szczególnych macierzy rzeczywistych typu.. za pomocą odwzorowania.. w którym dodawanie i mnożenie liczb zespolonych oraz macierzy odpowiadają sobie wzajemnie.. Przykładowo.. macierze obrotu.. odpowiadają mnożeniu przez liczbę zespoloną o.. module.. Podobnej interpretacji można dokonać dla.. kwaternionów.. Wczesne techniki.. szyfrowania.. (np.. szyfr Hilla.. ) można opisać za pomocą macierzy, jednakże oznacza to, że kody te są względnie łatwe do złamania (z powodu ich liniowej natury).. macierze wykorzystuje się do reprezentowania obiektów oraz ich.. przekształceń afinicznych.. − przykładem może być.. rzut.. trójwymiarowego obiektu na dwuwymiarowy ekran uwzględniający teoretyczną pozycję.. obserwatora.. kamery.. Macierze nad.. pierścieniami wielomianów.. są istotnym elementem opisu w.. teorii sterowania.. chemii.. macierze wykorzystuje się na wiele sposobów – w szczególności, ze względu na wykorzystanie.. teorii kwantów.. , do opisu.. wiązań między cząsteczkami.. spektroskopii.. Przykładami są.. macierz nakładania.. (ang.. overlap matrix.. ) i.. macierz Foka.. wykorzystywane do rozwiązywania.. równań Roothaana.. w celu uzyskania.. orbitali cząsteczkowych.. za pomocą.. metody Hartree'ego-Foka.. teoria grafów.. Nieskierowany graf o macierzy sąsiedztwa.. Jednym z fundamentalnych obiektów teorii grafów jest.. macierz sąsiedztwa.. skończonego.. grafu.. – zapisana jest w niej informacja o tym, które wierzchołki grafu są połączone krawędzią.. Innym sposobem opisu takiego grafu jest.. macierz incydencji.. parująca wierzchołki i krawędzie.. Macierze zawierające tylko dwie różne wartości (0 i 1 oznaczające przykładowo „tak” i „nie”) nazywa się.. macierzami logicznymi.. Z kolei.. macierz odległości.. (lub.. kosztów.. ) zawiera informację o wzajemnych odległościach krawędzi.. Pojęcia te stosuje się do opisu rozmieszczenia (.. topologii.. witryn internetowych.. połączonych.. odnośnikami.. , czy miastami połączonymi za pomocą dróg; jeśli sieć dróg nie jest zbyt gęsta, to macierze są zwykle.. rzadkie.. zawierają mało niezerowych elementów.. Dla tego rodzaju macierzy istnieją odpowiednio przystosowane algorytmy stosowane w.. teorii sieci.. analiza wielowymiarowa.. równania różniczkowe cząstkowe.. Macierz Hessego.. funkcji różniczkowalnej.. o wartościach skalarnych (tzw.. pola skalarnego.. składa się z.. drugich pochodnych.. funkcji.. względem osi współrzędnych, tzn.. punkcie siodłowym.. macierz Hessego.. Koduje ona informację o lokalnym wzroście funkcji: dla danego.. punktu krytycznego.. czyli punktu, w którym znikają pierwsze.. pochodne cząstkowe.. przyjmuje ona.. minimum lokalne.. , o ile macierz Hessego jest.. (i.. maksimum lokalne.. , gdy jest ona.. ujemnie określona.. W celu znalezienia minimów i maksimów funkcji kwadratowych blisko związanych z formami kwadratowymi stowarzyszonymi z macierzami (zob.. Określoność.. ) stosuje się.. programowanie kwadratowe.. Inną macierzą często stosowaną w ujęciu geometrycznym problemów analitycznych jest.. przekształcenia różniczkowalnego.. Jeśli.. oznaczają składowe.. to macierz Jacobiego można zdefiniować jako.. i rząd macierzy Jacobiego przyjmuje swoją maksymalną wartość.. to z.. twierdzenia o przekształceniu odwrotnym.. [v].. jest lokalnie.. w tym punkcie.. Równania różniczkowe cząstkowe można sklasyfikować za pomocą macierzy współczynników operatorów różniczkowych najwyższego rzędu danego równania.. Dla.. eliptycznych równań różniczkowych cząstkowych.. macierz ta jest dodatnio określona, co ma decydujący wpływ na zbiór możliwych rozwiązań badanego równania.. Ważną metodą rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych opisujących złożone układy fizyczne jest.. metoda elementów skończonych.. , w której rozwiązanie jest przybliżane za pomocą funkcji kawałkami liniowych, gdzie kawałki dostatecznie drobne; metodę można następnie przedstawić w postaci równania macierzowego (zob.. też.. metoda sztywności.. teoria prawdopodobieństwa.. statystyka.. Dwa różne łańcuchy Markowa; wykres przedstawia liczbę cząsteczek (ok.. 1000) w stanie „2”.. Obie wartości graniczne można wyznaczyć z macierzy przejścia, którymi są.. Macierze stochastyczne.. to macierze, których wiersze odpowiadają.. wektorom prawdopodobieństwa.. elementy wierszy sumują się do jedności.. Macierze stochastyczne definiują.. łańcuchy Markowa.. o skończonej liczbie stanów.. Wiersz macierzy stochastycznej opisuje rozkład prawdopodobieństwa następnego położenia danej cząstki w stanie odpowiadającym temu wierszowi.. Własności łańcucha Markowa takie jak.. stany pochłaniające.. stany, które dana cząstka kiedyś osiągnie, można odczytać z wartości własnych macierzy przejścia.. Ze względu na pokrewieństwo łańcuchów Markowa o skończonej liczbie stanów z grafami o skończonej liczbie wierzchołków do opisu pierwszych stosuje się metody opracowane dla drugich (zob.. W statystyce również korzysta się z wielu rodzajów macierzy −.. statystyka opisowa.. zajmuje się przykładowo opisem zbiorów danych, które można często przedstawić w postaci macierzowej przez uprzednie zmniejszenie liczby danych.. Macierz kowariancji.. koduje wzajemną.. wariancję.. kilku.. zmiennych losowych.. Kolejnym przykładem jest.. metoda najmniejszych kwadratów.. , w której przybliża się skończoną liczbę punktów.. funkcją liniową.. metodę tę można opisać w języku macierzy opierając się na.. rozkładzie według wartości osobliwych.. Macierze losowe.. to macierze zawierające liczby losowe podlegające odpowiedniemu.. rozkładowi prawdopodobieństwa.. macierzowemu rozkładowi normalnemu.. Ich zastosowanie wykracza poza rachunek prawdopodobieństwa − stosuje się je od.. teorii liczb.. po.. fizykę.. symetria w fizyce.. Przekształcenia liniowe i związane z nimi.. symetrie.. odgrywają we współczesnej fizyce kluczową rolę.. kwantowej teorii pola.. cząstki elementarne.. klasyfikuje się jako reprezentacje.. grupy Lorentza.. szczególnej teorii względności, dokładniej: względem ich zachowania w działaniu.. grupy spinowej.. Konkretne reprezentacje, w tym.. macierze Pauliego.. , czy ogólniejsze.. macierze gamma.. , są integralną częścią opisu.. fermionów.. zachowujących się jak.. spinory.. Dla trzech najlżejszych.. kwarków.. istnieje grupowa reprezentacja wykorzystująca.. specjalną grupę unitarną.. do obliczeń wykorzystuje się dogodne reprezentacje macierzowe znane jako.. macierze Gell-Manna.. , które stosuje się także do opisu.. grupy cechowania.. tworzącej podstawę współczesnego opisu silnych oddziaływań jądrowych,.. chromodynamiki kwantowej.. macierz Cabibbo-Kobayashiego-Maskawy.. wyraża fakt, iż podstawowe stany kwarków, istotne dla.. oddziaływań słabych.. , nie są podstawowymi stanami kwarków definiującymi cząstkami z określonymi i różnymi.. masami.. , lecz są od nich liniowo zależne.. mechanika kwantowa.. Pierwszy model mechaniki kwantowej (.. Heisenberg.. , 1925) przedstawiał operatory tej teorii za pomocą nieskończeniewymiarowych macierzy działających na stanach kwantowych; stąd pierwotna nazwa tej teorii to.. mechanika macierzowa.. Szczególnym przykładem jest.. macierz gęstości.. charakteryzująca stan „mieszany” układu kwantowego jako.. kombinację liniową.. prostych, „czystych” stanów własnych.. Inna macierz służy jako kluczowe narzędzie opisu eksperymentów rozpraszania tworzących zrąb eksperymentalnej.. fizyki cząstek elementarnych.. : reakcje zderzenia, takie jakie zdarzają się w.. akceleratorach cząstek.. , gdzie nieoddziałujące na siebie cząstki pędzą ku sobie i zderzają się na małym obszarze oddziaływania produkując nowy zestaw nieoddziałujących ze sobą cząstek, mogą być opisane za pomocą iloczynu skalarnego stanów cząsteczek wyjściowych i kombinacji liniowej stanów cząsteczek wejściowych.. Kombinacja liniowa jest dana w postaci.. macierzy rozpraszania.. znanej także jako.. macierz S.. , która koduje wszystkie informacje o możliwych oddziaływaniach między cząstkami.. drgania swobodne.. W fizyce macierze stosuje się również do opisu liniowo sprzężonych.. układów harmonicznych.. Równania ruchu.. takich układów można opisać za pomocą macierzy, gdzie.. macierz masy.. przemnożona przez uogólnioną prędkość daje wyraz kinetyczny, a.. macierz siły.. przemnożona przez.. macierz przesunięcia.. (odpowiadającą wektorowi przesunięcia) charakteryzuje interakcje.. Najlepszą metodą uzyskiwania rozwiązań jest wyznaczenie wektorów własnych układu, jego drgań swobodnych, poprzez diagonalizację równania macierzowego.. Techniki tego rodzaju są istotne, gdy w grę wchodzi wewnętrzna dynamika cząsteczek: drgania wewnętrzne układu składającego się ze wzajemnie związanych atomów.. Wykorzystuje się je również do opisu drgań mechanicznych i oscylacji w obwodach elektrycznych.. optyka geometryczna.. W optyce geometrycznej, która z natury jest teorią aproksymatywną, zaniedbuje się falową naturę.. światła.. − w modelu tym.. promienie świetlne.. rozchodzą się po.. prostych.. Jeśli ugięcie światła przez dany przyrząd optyczny nie jest duże, działanie.. soczewki.. zwierciadła.. można wyrazić za pomocą mnożenia macierzy odpowiadającej wektorowi o dwu składowych przez macierz układu optycznego typu.. nazywaną.. macierzą ABCD.. : elementami macierzy odpowiadającej wektorowi są nachylenie promienia i jego odległość od osi optycznej, macierz kwadratowa koduje z kolei własności urządzenia optycznego.. W istocie wyróżnia się dwa rodzaje macierzy, tj.. macierz załamania.. refrakcji.. ) opisująca załamanie na powierzchni soczewki oraz.. translacji.. ), która opisuje przesunięcie płaszczyzny odniesienia do kolejnej płaszczyzny załamania, której opisem jest kolejna macierz załamania.. Dzięki temu układ optyczny złożony z kombinacji soczewek i/lub zwierciadeł można opisać za pomocą macierzy będącej iloczynem macierzy elementów tego układu.. rozwiązanie obwodu elektrycznego.. elektronika.. Tradycyjna analiza obwodów elektrycznych prowadzi do układów równań liniowych, które mogą być opisane za pomocą macierzy (np.. metoda prądów oczkowych.. metoda napięć/potencjałów węzłowych.. Zachowanie wielu elementów elektronicznych może być opisane za pomocą macierzy: niech.. oznacza macierz typu.. którego pierwszym elementem jest napięcie.. a drugą natężenie.. wejściowe tego elementu, zaś.. będzie będzie macierzą tego samego typu z kolejnymi elementami napięcia.. i natężenia.. wyjściowego elementu.. Zachowanie elementu elektronicznego można opisać wzorem.. zawierającą.. impedancję.. (zawadę) i.. admitancję.. (drożność) kolejno jako elementy antyprzekątnej głównej i dwa elementy.. bezwymiarowe.. na przekątnej głównej.. Rozwiązanie obwodu sprowadza się wówczas do mnożenia macierzy.. Za pierwsze macierze można uważać.. kwadraty magiczne.. które w.. literaturze chińskiej.. pojawiają się już ok.. 650 p.. n.. e.. [5].. Kwadraty magiczne były znane także.. arabskim.. matematykom, prawdopodobnie już w.. VII wieku.. , kiedy Arabowie podbili północnozachodnie części.. subkontynentu indyjskiego.. przejmując zdobycze matematyki i astronomii hinduskiej − być może idea ta dotarła do nich z Chin.. Pierwsze kwadraty magiczne rzędu 5 i 6 pojawiły się w.. Encyklopedii Bractwa Czystości.. arab.. رسائل أخوان الصفا و خلان الوفا) z.. Bagdadu.. około.. 983.. roku.. Prostsze kwadraty magiczne były znane wielu wcześniejszym matematykom arabskim.. Powstały między.. III wiekiem p.. II wiekiem n.. traktat.. Dziewięć rozdziałów o sztuce matematyki.. Jiu Zhang Suan Shu.. ) jest pierwszym zanotowanym przypadkiem użycia macierzy do rozwiązania.. [6].. W rozdziale siódmym,.. Zbyt dużo i nie wystarczająco.. , po raz pierwszy wprowadzono koncepcję.. , przeszło 1000 lat przed jego publikacją przez.. Kōwę Sekiego.. 1683.. roku i.. Gottfrieda Leibniza.. 1693.. Gabriel Cramer.. opublikował.. swoje wzory.. dające pełny algorytm rozwiązywania układów równań liniowych dopiero w.. 1750.. Wczesna teoria macierzy bardziej niż na same macierze kładła nacisk na wyznaczniki − niezależne pojęcie macierzy bliskie współczesnemu pojawiło się dopiero w 1858 roku w pracy.. Arthura Cayleya.. „Pamiętnik o teorii macierzy” (.. Memoir on the theory of matrices.. Słowo „macierz” (.. łac.. matrix.. − samica rozpłodowa, roślina macierzysta; od.. matr-.. mater.. − matka; niegdyś właśnie „macierz”) ukuł.. James Joseph Sylvester.. , który macierz rozumiał jako obiekt dający wyznaczniki znane dzisiaj jako.. minory.. [7].. W pracy z 1851 roku Sylvester tłumaczy:.. „W poprzednich pracach zdefiniowałem «Macierz» jako prostokątną tablicę wyrazów, z której jak z łona jednego rodzica wyłonić można przeróżne układy wyznaczników”.. [8].. Badania nad wyznacznikami rozpoczęto z kilku powodów: problemy.. doprowadziły.. Carla Friedricha Gaussa.. do związania współczynników.. form kwadratowych.. wyrażeń postaci.. i trójwymiarowych.. z macierzami.. Gotthold Eisenstein.. rozwinął te pojęcia w dalszym stopniu, w tym fakt, iż (w języku współczesnym).. iloczyny macierzy.. nie są.. Augustin Cauchy.. jako pierwszy udowodnił ogólne twierdzenia o wyznacznikach korzystając z następującej definicji wyznacznika macierzy.. zastąp w.. wielomianie.. potęgi.. wyrazem.. iloczyn.. wskazanych wyrazów.. Wykazał on również w 1829 roku, że.. macierzy symetrycznych są rzeczywiste.. Carl Gustav Jakob Jacobi.. badał „wyznaczniki funkcyjne”, nazywane później przez Sylvestera.. wyznacznikami Jacobiego.. , za pomocą których możliwy jest opis przekształceń geometrycznych na poziomie lokalnym (lub.. infinitezymalnym.. ); w dziełach.. Leopolda Kroneckera.. „Wykłady o teorii wyznaczników” (.. Vorlesungen über die Theorie der Determinanten.. Karla Weierstrassa.. „O teorii wyznaczników” (.. Zur Determinantentheorie.. ), obu opublikowanych w 1903 roku, po raz pierwszy opisano wyznaczniki w sposób.. aksjomatyczny.. , w przeciwieństwie do mniej abstrakcyjnego podejścia stosowanego przez Cauchy'ego.. Rok ten przyjmuje się jako datę precyzyjnego ustalenia definicji wyznacznika.. Początkowo wiele twierdzeń udowodniono dla małych macierzy, przykładowo Cayley dowiódł.. twierdzenie Cayleya-Hamiltona.. w przypadku macierzy typu.. i przez.. Williama Rowana Hamiltona.. dla macierzy typu.. Georg Frobenius.. , rozwijając.. teorię form dwuliniowych.. , uogólnił twierdzenie na macierze dowolnego typu (1898).. Także pod koniec.. XIX wieku.. Wilhelm Jordan.. przedstawił metodę rozwiązywania układów równań liniowych znaną dziś jako.. metoda eliminacji Gaussa-Jordana.. (jako uogólnienie przypadku szczególnego znanego dziś jako.. metoda eliminacji Gaussa.. , przy czym Gauss, którego nazwisko noszą obie procedury, nie wniósł wkładu w rozwój żadnej z nich).. Z początkiem XX wieku macierze osiągnęły swoją kluczową pozycję w algebrze liniowej (częściowo dzięki ich wykorzystaniu przy klasyfikacji układów.. liczb hiperzespolonych.. w poprzednim stuleciu).. Powstanie.. mechaniki macierzowej.. dzięki wysiłkom.. Wernera Heisenberga.. Maksa Borna.. Pascuala Jordana.. doprowadziły do badań nad macierzami o nieskończonej liczbie wierszy i kolumn.. W dalszej kolejności.. John von Neumann.. dał matematyczny opis.. mechaniki kwantowej.. rozwinąwszy takie pojęcia.. jak.. operator liniowy.. przestrzeniach Hilberta.. , które zgrubnie rzecz ujmując, odpowiadają.. przestrzeniom euklidesowym.. o nieskończenie wielu.. niezależnych kierunkach.. Samo słowo „macierz” stosowane było w kontekście matematycznym w niestandardowy sposób przynajmniej przez dwóch, ważnych historycznie autorów.. Bertrand Russell.. Alfred North Whitehead.. w ich.. Principia Mathematica.. (1910–1913) wykorzystują słowo „macierz” w kontekście wprowadzonego przez nich.. aksjomatu redukowalności.. Zaproponowali oni ten aksjomat w celu zredukowania dowolnej funkcji do funkcji niższego typu tak, by „na dnie” (typ 0) funkcja była identyczna ze swoim.. rozszerzeniem.. :.. nazwiemy dowolną funkcję, jakkolwiek wielu zmiennych, która nie wykorzystuje żadnych.. zmiennych pozornych.. Wówczas dowolną możliwą funkcję inna od macierzy można otrzymać za pomocą uogólnienia, tzn.. rozpatrzenia.. sądu.. zapewniającego, iż rzeczona funkcja jest prawdziwa dla wszystkich możliwych wartości bądź dla pewnej wartości jednego z argumentów pozostały argument lub argumenty pozostają nieokreślone”.. [9].. Przykładowo funkcja.. dwóch zmiennych.. może być zredukowana do.. kolekcji.. funkcji jednej zmiennej, tzn.. poprzez „rozpatrywanie” funkcji wszystkich możliwych wartości „indywiduów”.. podstawionych w miejsce zmiennej.. Uzyskana kolekcja funkcji jednej zmiennej.. może być zredukowana do „macierzy” wartości „rozpatrując” funkcję dla wszystkich wartości „indywiduów”.. wstawionych w miejsce zmiennej.. Alfred Tarski.. w swoim „Wprowadzeniu do logiki” (.. Introduction to Logic.. ) z 1946 roku używał słowa „macierz” mając na myśli.. tabelę prawdy.. wykorzystywaną w logice matematycznej.. [10].. Zobacz hasło.. macierz.. w Wikisłowniku.. spis macierzy.. rachunek macierzowy.. ↑.. Zasadniczo nazwy niewiadomych w poszczególnych równaniach kodowane są za pomocą ich pozycji w tablicy — zwykle kolejne równania (jak w zwyczajowej notacji) znajdują się w kolejnych wierszach, z kolei każdej niewiadomej odpowiada wybrana kolumna.. Typowymi przykładami mogą być.. współrzędne jednorodne.. punktów świata przedstawionego, na których operuje się za pomocą wybranych macierzy przekształceń, czy.. kwaterniony.. w reprezentacji macierzowej służące przede wszystkim modelowaniu trójwymiarowych obrotów w sposób niewyróżniający żadnego kierunku (w obu przypadkach zwykle czterowymiarowe).. Niegdyś do rozwiązywania.. stosowało się (wprowadzone przez polskiego astronoma.. Tadeusza Banachiewicza.. ) tzw.. krakowiany.. , czyli macierze z działaniem mnożenia podobnym do iloczynu Cauchy'ego, w którym dany element jest sumą iloczynów kolejnych elementów kolumn (a nie kolumny i wiersza) − w szczególności nie jest ono.. , ani.. Podejście to upraszcza jednak wiele wzorów, usprawnia obliczenia numeryczne przy obliczeniach ręcznych i z zastosowaniem komputerów z.. pamięcią sekwencyjną.. oraz ułatwia sprawdzanie obliczeń poprzez.. sumy kontrolne.. ; zob.. Ogólnie:.. -wymiarowej objętości (mierze) obrazu.. -wymiarowej kostki.. -wymiarowego prostopadłościanu/przedziału jednostkowego), tzn.. -wymiarowego równoległościanu.. Tzn.. permutuje.. wektory bazy uporządkowanej (bądź rozpinające.. -wymiarowy równoległościan) za pomocą nieparzystej liczby.. transpozycji.. Ogólny przypadek wykorzystujący pojęcie rzędu opisuje.. twierdzenie Kroneckera-Capellego.. Zob.. sekcję.. Macierze puste.. Chodzi o podprzestrzenie, których (wewnętrzna).. suma prosta.. daje całą przestrzeń; zob.. twierdzenie o endomorfizmie.. Może to być szczególnie widoczne po wybraniu odpowiedniej bazy.. Ponadto.. oznacza sumę wszystkich minorów głównych.. -tego stopnia danej macierzy (por.. wzory Viète'a.. ); w szczególności.. (oraz.. zob.. macierz pusta.. W szczególności: macierz jest nieosobliwa, jeśli wszystkie jej wartości własne są różne od zera.. W przypadku dwuwymiarowym –.. symetrii osiowych.. , w przypadku trójwymiarowym –.. symetrii płaszczyznowych.. , w ogólności –.. symetrii względem hiperpłaszczyzny.. Wykorzystując do opisu tych przekształceń.. okazuje się, że wektorami własnymi danego obrotu stowarzyszonymi z wartościami własnymi.. Biorąc pod uwagę, że mnożenie przez.. jednostkę urojoną.. oznacza obrót o.. (w ustalonym kierunku, umownie „przeciwnie do ruchu wskazówek zegara”), a ogólniej dana (niezerowa) liczba zespolona to obrót o ustalony kąt (argument/faza) połączony ze skalowaniem o ustalony współczynnik (moduł/amplituda), wartości własne o jednostkowym module można interpretować jako zachowujące pole, zaś ich argument wskazuje kąt obrotu, z kolei wektory własne wskazują zachowane kierunki w przestrzeni trzeciego wymiaru (jako że muszą mieć one postać.. dla dowolnej liczby zespolonej.. ): kierunek prostopadły do „poziomego” i „pionowego” (por.. płaszczyzna zespolona.. liczby zespolone: reprezentacja macierzowa.. iloczyn wektorowy.. W innej postaci: jeśli.. oznacza wiodący minor główny, to wartości własne.. zgodnie z sekcją.. Definicję tę można rozszerzyć o tzw.. macierze puste.. : wystarczy, by zbiór wskaźników był.. pusty.. Przestrzenie.. można w.. naturalny.. sposób.. utożsamiać.. z przestrzenią.. poprzez rzuty; w tym wypadku chodzi o utożsamienie wektorów postaci.. przy ustalonych.. oraz skalara.. Dolne „piętro” diagramu można zastąpić przekształceniem w postaci macierzy.. między.. macierzowymi przestrzeniami współrzędnych.. wektorów kolumnowych bądź.. wektorów wierszowych.. Z punktu widzenia.. teorii kategorii.. kategorie.. skończeniewymiarowych przestrzeni liniowych i przestrzeni macierzy nad wspólnym ciałem są.. równoważne.. ; kategoria skończeniewymiarowych przestrzeni liniowych jest równoważna z.. podkategorią.. skończeniewymiarowych przestrzeni współrzędnych.. Za bazę można wybrać zbiór macierzy, których elementami są jedna jedynka i same zera.. W przypadku, gdy pierścień nie jest przemienny, zwykle nie można przedstawić sensownej definicji; niekiedy jednak jest to możliwe, np.. wyznacznik Dieudonnégo.. dla.. pierścieni z dzieleniem.. i jego uogólnienie,.. funktor Dieudonnégo.. , na.. algebry centralne proste.. w dowolnym.. izomorfizmie.. Bądź z.. twierdzenia o przekształceniu uwikłanym.. za A.. Cayley.. A Memoir on the Theory of Matrices.. (1855).. w formacie.. pdf.. Mémoire sur les Hyperdéterminants.. , Crelle Journal.. 30.. (1846).. martwy link.. Grzegorz Cieciura:.. Konspekt do wykładu z Algebry „C”.. Warszawa: Katedra Metod Matematycznych Fizyki – Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego, 2001, s.. 94.. Stanisław Zakrzewski:.. Algebra i geometria.. Warszawa: Katedra Metod Matematycznych Fizyki – Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego, 2000, s.. 33.. ↑.. 5,0.. 5,1.. Swaney, Mark.. History of Magic Squares.. Shen Kangshen et al.. (ed.. ):.. Nine Chapters of the Mathematical Art, Companion and Commentary.. Oxford University Press, 1999.. cytowane przez.. Otto Bretscher:.. Linear Algebra with Applications.. Wyd.. Prentice-Hall, 2005, s.. OED.. pierwsze użycie słowa „macierz” (tzn.. „matrix”) w kontekście matematycznym przypisuje Sylvesterowi cytując.. London, Edinb.. Dublin Philos.. Mag.. 37.. (1850), s.. 369: „«Wyjdziemy» od podłużnego układu wyrazów składającego się, załóżmy, z.. m.. wierszy i.. n.. kolumn.. Nie będzie on sam sobie oznaczał wyznacznika, ale będzie on jak gdyby Macierzą, z której będziemy tworzyć różnorakie wyznaczniki poprzez ustalenie liczby.. p.. i wybranie zgodnie z wolą.. kolumn, kwadraty im odpowiadające nazywane będą wyznacznikami.. -tego stopnia [dosł.. rzędu].. ” (.. We "commence" with an oblong arrangement of terms consisting, suppose, of m lines and n columns.. This will not in itself represent a determinant, but is, as it were, a Matrix out of which we may form various systems of determinants by fixing upon a number p, and selecting at will p lines and p columns, the squares corresponding to which may be termed determinants of the pth order.. I have in previous papers defined a "Matrix" as a rectangular array of terms, out of which different systems of determinants may be engendered as from the womb of a common parent.. za.. The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester: 1837–1853.. Paper 37.. , s.. 247.. Let us give the name of.. matrix.. to any function, of however many variables, which does not involve any apparent variables.. Then any possible function other than a matrix is derived from a matrix by means of generalization, i.. , by considering the proposition which asserts that the function in question is true with all possible values or with some value of one of the arguments, the other argument or arguments remaining undetermined.. za Alfred North Whitehead and Bertrand Russell (1913).. Principia Mathematica to *56.. , Cambridge at the University Press, Cambridge UK (wznowienie z 1962 roku) s.. 162ff.. Tarski, Alfred 1946.. Introduction to Logic and the Methodology of Deductive Sciences.. , Dover Publications, Inc, New York NY,.. ISBN 0-486-28462-X.. Grzegorz Banaszak, Wojciech Gajda:.. Elementy algebry liniowej cz.. I.. Warszawa:.. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne.. , 2002.. ISBN 83-204-2566-2.. II.. ISBN 83-204-2693-6.. Israïl Moiseevich Gelfand:.. Wykłady z algebry liniowej.. PWN, 1974.. J.. Komorowski:.. Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk.. PWN, 1978.. Andrzej Mostowski.. Marceli Stark.. Algebra liniowa.. PWN, 1975.. Andrzej Mostowski, Marceli Stark:.. Algebra wyższa.. Zbiór tożsamości związanych z macierzami.. php?title=Macierz oldid=40327246.. Macierze.. Ukryte kategorie:.. Niezweryfikowane martwe linki.. Artykuły wymagające uzupełnienia źródeł od 2012-02.. Zalążki sekcji artykułów.. Artykuł.. Edytuj.. Edytuj kod źródłowy.. Cytowanie tego artykułu.. Afrikaans.. አማርኛ.. Azərbaycanca.. Gaeilge.. 贛語.. Հայերեն.. ह न द.. ລາວ.. Latviešu.. മലയ ള.. Олык марий.. ਪ ਜ ਬ.. پنجابی.. Piemontèis.. Shqip.. Sicilianu.. ස හල.. Soomaaliga.. Srpskohrvatski / српскохрватски.. தம ழ.. اردو.. Edytuj linki.. Tę stronę ostatnio zmodyfikowano o 00:45, 3 wrz 2014..

    Original link path: /wiki/Macierz
    Open archive

  • Title: Prosta – Wikipedia, wolna encyklopedia
    Descriptive info: Prosta.. Ten artykuł dotyczy pojęcia geometrycznego.. wzniesienie Prosta w Sudetach.. Linia prosta.. prosta.. – jedno z podstawowych pojęć.. geometrii.. , szczególny przypadek nieograniczonej z obydwu stron.. krzywej.. o nieskończonym.. promieniu krzywizny.. w każdym punkcie.. W niektórych ujęciach, w tym w klasycznej geometrii euklidesowej, prosta jest tzw.. pojęciem pierwotnym.. , niedefiniowanym formalnie w obrębie danej.. teorii.. Można ją jednak.. interpretować.. za pomocą pojęć wykraczających poza geometrię, np.. jako.. zbiór.. punktów.. współrzędnych.. spełniających pewne.. równanie.. Ten temat szerzej omówiony jest w artykule dotyczącym.. geometrii euklidesowej.. rozważane są także inne geometrie, takie jak.. geometria powierzchni kuli.. Pojęcie prostej można uogólnić także na tzw.. geometrie nieeuklidesowe.. Odpowiednikiem prostych są wówczas tzw.. linie geodezyjne.. , czyli krzywe określające lokalnie najkrótsze drogi między punktami.. Według najogólniejszej definicji zatem:.. Prosta (geodezyjna) to nieposiadająca zakończeń krzywa o jednej gałęzi i zerowej.. krzywiźnie geodezyjnej.. w każdym punkcie (czyli zerowej.. pochodnej kowariantnej.. dla kierunku tej krzywej w każdym punkcie).. W pewnym więc sensie proste w dowolnych przestrzeniach nadal są liniami niezakrzywionymi.. Geometria euklidesowa.. Definicja Euklidesa.. Własności.. Niektóre ważne proste.. Prosta na płaszczyźnie (afinicznej).. Równanie ogólne.. Równanie normalne.. Równanie w postaci kierunkowej.. Równanie parametryczne.. Równanie kanoniczne.. Równanie prostej przechodzącej przez zadane punkty.. Równanie odcinkowe.. Postać biegunowa równania.. 9.. Odległość punktu od prostej.. 10.. Wzajemne położenie na płaszczyźnie.. 11.. Kąt między dwiema prostymi.. 12.. Trzy punkty na prostej.. 13.. Trzy proste przecinające się w jednym punkcie.. 14.. Pęki prostych.. Przestrzeń trójwymiarowa.. Przestrzeń wielowymiarowa.. Równania ogólne.. Równania kanoniczne.. Równania prostej przechodzącej przez zadane punkty.. Kąt między prostymi w przestrzeni.. Kąt między prostą a płaszczyzną.. Geometrie nieeuklidesowe.. Geometria hiperboliczna (Łobaczewskiego).. Geometria eliptyczna (sferyczna).. Czasoprzestrzeń.. Inne przestrzenie i geometrie.. Przestrzeń liniowa (wektorowa).. Przestrzeń metryczna.. Geometria rzutowa.. Geometria wykreślna.. Literatura dodatkowa.. Prosta, półprosta i odcinek.. Oczywiście dla prostej i półprostej widać tylko fragment mieszczący się na rysunku.. Wypełnione kółeczka (tzw.. nulki.. ) symbolizują punkty na końcach odcinka i na początku półprostej, które także do odcinka i półprostej należą.. Linia prosta w sensie potocznym różni się od tego, co pod tym pojęciem określa się w matematyce.. Potocznie „.. ” oznacza „niezakrzywiona”.. W geometrii euklidesowej „prosta” albo „linia prosta”, oprócz tego, że nie jest zakrzywiona, musi rozciągać się nieograniczenie w obydwie strony i mieć zerową „grubość”.. Jeśli niezakrzywiona linia o zerowej grubości rozciąga się nieograniczenie tylko w jedną stronę, a z drugiej strony ma zakończenie, to jest nazywana „.. półprostą.. ”.. Jeśli posiada zakończenia z obydwu stron, to nazywana jest „.. odcinkiem.. Elementy.. geometria euklidesowa.. Nazwa geometrii euklidesowej pochodzi od greckiego matematyka.. Euklidesa.. , który w.. III w.. w swoim dziele.. po raz pierwszy zebrał i systematycznie udowodnił większość znanych podówczas twierdzeń geometrycznych.. Euklides w Elementach podał 23 definicje różnych pojęć geometrycznych w tym punktu, linii (krzywej), prostej,.. kąta.. Prostą definiował tak:.. linia jest długością bez szerokości.. linia jest prosta, jeśli jest położona między swoimi punktami w równym i jednostajnym kierunku.. Definicja ta z punktu widzenia dzisiejszej matematyki pasuje raczej do odcinka niż do prostej, gdyż ta nie leży „między swoimi punktami”, lecz jest nieograniczona.. Euklides odróżniał jednak proste od odcinków, pisząc o „liniach przedłużanych w nieskończoność”, np.. „Linie równoległe są to proste, które leżą na tej samej płaszczyźnie i przedłużone z obu stron w nieskończoność, z żadnej strony nie przetną się”.. Było to spowodowane próbą ominięcia trudności związanych z.. nieskończonością.. aktualną (prosta jako całość jest „nieskończona”) poprzez wyrażenie jej jako nieskończoność potencjalną (możliwość nieograniczonego przedłużania odcinka).. Prosta jest częścią wspólną dowolnych dwóch nierównoległych płaszczyzn leżących w tej samej.. przestrzeni trójwymiarowej.. Przez dwa nieidentyczne punkty przestrzeni przechodzi tylko jedna prosta.. Prosta przechodząca przez dwa różne punkty.. zawiera się w tej płaszczyźnie.. Prosta na płaszczyźnie jest zbiorem punktów jednakowo oddalonych od dwóch ustalonych punktów.. Każdy punkt płaszczyzny lub przestrzeni należy do nieskończenie wielu prostych.. Ich zbiór zwany jest.. pękiem prostych.. Każda prosta dzieli płaszczyznę, w której się zawiera, na dwa obszary (.. półpłaszczyzny.. ) i jest.. brzegiem.. każdego z nich.. Każdy punkt na prostej dzieli ją na dwie części zwane.. półprostymi.. Najkrótsza.. droga pomiędzy dwoma dowolnymi punktami prowadzi po prostej.. Prosta jest.. częścią wspólną.. dowolnych dwóch nierównoległych płaszczyzn (zob.. rysunek).. Promień krzywizny.. (dla większej liczby wymiarów – wszystkie promienie krzywizny) w każdym jej punkcie jest nieskończony.. Proste są jedynymi krzywymi gładkimi o zerowej.. krzywiźnie.. Każda prosta ma nieskończoną liczbę.. osi symetrii.. Osią taką jest ona sama oraz każda prosta.. prostopadła.. do niej.. asymptota.. – prosta, do której dąży dana krzywa (w szczególności.. wykres funkcji.. oś liczbowa.. – prosta z.. liczbą.. przyporządkowaną.. każdemu swojemu punktowi, używana np.. oś współrzędnych.. oś obrotu.. – prosta, wokół której.. obraca się.. dane.. , albo względem której dokonujemy obrotu matematycznej.. bryły.. oś symetrii.. – prosta, względem której można.. odbić.. daną.. figurę.. i otrzymać figurę identyczną.. Prosta Eulera (czerwona) oraz symetralne (zielone), środkowe (pomarańczowe) i wysokości (niebieskie) w trójkącie.. prosta Eulera.. prosta potęgowa.. – zbiór punktów, które mają równe.. potęgi.. względem dwóch różnych okręgów.. prosta Simsona.. sieczna.. – prosta przecinająca daną krzywą w co najmniej dwóch punktach.. styczna.. – potocznie i nieściśle: prosta "równoległa" do krzywej w danym punkcie i przechodząca przez ten punkt.. normalna.. – prosta prostopadła do stycznej w danym punkcie krzywej.. symetralna odcinka.. – prosta dzieląca odcinek na dwie równe części i prostopadła do niego.. środkowa.. – prosta łącząca wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego jego boku.. prosta Cevy.. – prosta przechodząca przez wierzchołek trójkąta i przeciwległy bok.. Prosta jest jednowymiarową.. podprzestrzenią afiniczną.. płaszczyzny dwuwymiarowej (i ogólniej, każdej.. -wymiarowej kartezjańskiej przestrzeni współrzędnych).. Jeśli dany jest punkt.. i niezerowy wektor.. , to prostą generowaną przez wektor.. i przechodzącą przez punkt.. nazywamy zbiór punktów.. dla których istnieje liczba rzeczywista.. taka, że.. Wektor.. nazywamy.. wektorem kierunkowym.. prostej.. Najmniejszą.. podprzestrzenią afiniczną zawierającą dwa różne punkty.. jest prosta, która przez nie przechodzi.. Prostą tę oznaczamy.. Prostą można określić jako zbiór punktów spełniających pewne.. równanie liniowe.. Równanie to można zapisać w różny sposób.. Kilka typowych zapisów podano poniżej.. W przestrzeni kartezjańskiej.. dwuwymiarowej.. , każda prosta może być zdefiniowana w następujący sposób:.. Dla pewnych.. , przy czym.. nie są jednocześnie równe zeru, prosta to zbiór punktów, których współrzędne spełniają zależność:.. Równanie to nazywamy.. równaniem ogólnym.. Wektor.. o współrzędnych.. Jest on do tej prostej.. równoległy.. prostopadły.. do prostej.. , to prosta jest równoległa do osi.. , jeśli.. – do osi.. , przechodzi przez początek układu współrzędnych.. Współczynniki.. nie mogą równocześnie być równe zeru, gdyż wtedy równanie nie opisuje prostej, lecz dla.. całą płaszczyznę, a dla.. zbiór pusty.. (nie ma rozwiązań).. Jedna prosta może mieć wiele różnych równań ogólnych, odpowiadających różnym równoległym wektorom kierunkowym.. Współczynniki tych równań spełniają wtedy zależność:.. lub, jeśli któryś z mianowników jest zerem, odpowiadający mu licznik także jest zerem.. Parametry równania normalnego prostej.. Na niebiesko zaznaczony znormalizowany wektor kierunkowy (długości 1).. Równanie ogólne można unormować, dzieląc współczynniki.. przez długość (.. normę.. ) wektora kierunkowego i wybierając arbitralnie jeden z dwóch możliwych.. zwrotów.. tego wektora, np.. tak jak poniżej.. [11].. to tzw.. czynnik normujący.. lub.. można przyjąć dowolny znak.. Otrzymujemy w ten sposób tzw.. równanie normalne.. , czyli równanie prostej położonej pod kątem.. do osi.. i odległej o.. od środka układu współrzędnych:.. Równanie normalne jednoznacznie identyfikuje prostą nie przechodzącą przez początek układu współrzędnych.. Dla prostej przechodzącej przez początek układu wciąż możliwe są dwa różne równania normalne różniące się znakiem.. jest wtedy zerem).. Ponadto dla równania normalnego upraszczają się podane dalej wzory dotyczące kąta między dwiema prostymi.. Trzy równania w postaci kierunkowej i odpowiadające im proste.. Proste czerwona i niebieska mają ten sam współczynnik kierunkowy, a proste czerwona i zielona ten sam wyraz wolny.. Jeśli prosta nie jest równoległa do.. osi rzędnych (.. Oy.. , równanie prostej można zapisać w tzw.. postaci kierunkowej.. , tzw.. współczynnik kierunkowy.. , jest równy.. tangensowi.. kąta między prostą a.. osią odciętych (OX).. kątem nachylenia.. Czasem ten współczynnik jest oznaczany literą.. Dwie proste o tym samym współczynniku kierunkowym są równoległe.. Czerwona i niebieska prosta na wykresie mają ten sam współczynnik kierunkowy.. wyraz wolny.. , jest.. rzędną.. punktu, w którym prosta przecina oś rzędnych.. Proste czerwona i zielona na wykresie mają ten sam wyraz wolny.. Prosta.. o (niezerowym) wektorze kierunkowym.. , przechodząca przez punkt.. to zbiór punktów.. , takich że.. Innymi słowy:.. W nowoczesnej geometrii analitycznej oznacza się to:.. Rozpisując poszczególne składowe możemy to samo równanie przedstawić za pomocą.. układu równań.. postaci:.. Ilustracja równania parametrycznego i równania prostej przechodzącej przez zadane punkty.. Przy tym.. są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, natomiast.. są także liczbami rzeczywistymi, które jednak nie mogą być jednocześnie równe zeru.. Wówczas bowiem układ równań opisywałby tylko pojedynczy punkt.. , a nie całą prostą.. Pod założeniami z poprzedniego ustępu, prostą.. można opisać równaniem:.. W przypadku, gdy.. jest zerem, przydatne może być zapisanie równania w postaci:.. Gdy dane są dwa różne punkty.. , to równanie prostej przez nie przechodzącej jest postaci:.. lub w wersji parametrycznej:.. przebiega wszystkie liczby rzeczywiste.. To samo równanie można przedstawić w postaci.. Parametry równania odcinkowego prostej.. Równanie prostej, przecinającej oś.. w punkcie.. , gdzie.. i oś.. Prostą można też wyrazić w.. biegunowym układzie współrzędnych.. Równanie prostej nie przechodzącej przez biegun przyjmuje wówczas postać.. gdzie:.. jest odległością prostej od  ...   się.. Punktami w tej geometrii są zbiory dwóch punktów euklidesowych leżących po przeciwnej stronie sfery, a prostymi tzw.. [16].. sfery.. , czyli.. okręgi.. na jej powierzchni, których środek pokrywa się ze środkiem sfery.. Przykładowe okręgi wielkie na rysunku obok są oznaczone ciągłymi liniami.. Inne okręgi (oznaczone przerywanymi liniami) nie są prostymi tej geometrii, gdyż nie wyznaczają najkrótszych dróg.. Pomiędzy dwoma dowolnymi punktami sfery można bowiem przejść po.. łukach.. nieskończonej liczby różnych okręgów, ale tylko jeden z tych okręgów będzie okręgiem wielkim, i ta właśnie trasa będzie najkrótsza – jest to tak zwana.. ortodroma.. Z definicji zatem łuki okręgów wielkich to.. odcinki.. w geometrii sferycznej, łuki pozostałych okręgów odcinkami nie są.. Wprowadzając dla dwuwymiarowej geometrii eliptycznej.. układ współrzędnych.. długością geograficzną.. szerokością geograficzną.. możemy zdefiniować jej prostą (okrąg wielki) równaniem:.. są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, które nie są jednocześnie wszystkie trzy równe zeru.. Sfera jest przykładem przestrzeni ograniczonej, w której proste również są ograniczone.. Jednak nawet tutaj okręgi wielkie pozostają liniami geodezyjnymi i nie posiadają zakończeń.. W tej sekcji występują.. konwencje.. związane z teoriami relatywistycznymi.. szczególnej.. ogólnej teorii względności.. przestrzeń fizyczna i czas są związane tworząc w sensie matematycznym czterowymiarową czasoprzestrzeń.. W szczególnej teorii względności czasoprzestrzeń ta jest.. przestrzenią Minkowskiego.. , a w ogólnej teorii względności.. przestrzenią pseudoriemannowską.. będącą modyfikacją.. geometrii Riemanna.. W obydwu teoriach.. linia świata.. ciała na które nie działa żadna siła jest linią prostą (geodezyjną).. W ogólnej teorii względności grawitacji nie uznaje się za oddziaływanie, lecz czynnik, który zakrzywia czasoprzestrzeń.. [17].. Ciało oddziaływające grawitacyjnie nadal przemieszcza się po prostej (analogicznie do.. pierwszej zasady dynamiki.. Newtona.. ), jednak nie jest to prosta przestrzeni fizycznej, lecz prosta w zakrzywionej czasoprzestrzeni.. Stąd z punktu widzenia geometrii euklidesowej porusza się ono (w przestrzeni fizycznej) po zakrzywionym torze.. Grawitacja.. nie jest interpretowana jako siła działająca na ciało, a jako zakrzywienie czasoprzestrzeni, w której to ciało się porusza.. [18].. Wzajemne położenie punktów w czasoprzestrzeni jest dzielone na trzy typy w zależności od wartości interwału czasoprzestrzennego (odpowiednik odległości).. Ponieważ wszystkie punkty prostej w czasoprzestrzeni mają ten sam typ, proste także możemy podzielić na:.. czasowe.. interwał czasoprzestrzenny.. ; proste reprezentują prędkości mniejsze od.. prędkości światła.. w próżni) – mogą być trajektoriami cząstek posiadających niezerową.. masę spoczynkową.. ;.. zerowe.. ; proste reprezentują prędkość światła.. c.. ) – mogą być trajektoriami jedynie cząstek bezmasowych (np.. fotonów.. );.. przestrzenne.. ; proste reprezentują prędkości większe od.. ) – nie mogą być trajektoriami żadnych cząstek (oprócz hipotetycznych.. tachionów.. , których istnienie nie zostało w żaden sposób potwierdzone).. Krzywa.. , która ma w punkcie.. kierunek.. jest linią geodezyjną (prostą w czasoprzestrzeni) jeśli.. co oznacza, że jej.. pochodna kowariantna.. dla jej kierunku w danym punkcie jest równa zeru.. Przestrzeń liniowa.. W tym ujęciu prosta jest.. jednowymiarową.. przestrzenią liniową.. Dokładniej, prosta jest tożsama z jednowymiarową.. podprzestrzenią.. przestrzeni liniowej rozpiętej nad.. wektorem.. niezerowym, to prosta jest zbiorem wektorów.. , dla których istnieje.. skalar.. (rzeczywisty dla przestrzeni wektorowej należącej do.. ) taki, że.. Mówimy, że wektory.. liniowo zależne.. współliniowe.. W przestrzeni metrycznej naturalnym uogólnieniem prostych są.. , jak podano na wstępie.. Geometria rzutowa bada własności figur geometrycznych, które nie zmieniają się pod wpływem tzw.. przekształceń rzutowych.. , czyli dla płaszczyzny przekształceń, które przekształcają proste zawsze w proste (a nie w inne obiekty).. W geometrii rzutowej mamy dwa rodzaje prostych:.. proste właściwe.. każda prosta właściwa jest zbiorem punktów zwykłej prostej z przestrzeni kartezjańskiej, uzupełnionym o jej.. kierunek.. zwany tu.. punktem w nieskończoności.. prosta rzutowa.. będąca zbiorem punktów w nieskończoności.. Takie ujęcie pozwala uzyskać szereg interesujących własności, np.. dowolne dwie nie identyczne proste przecinają się zawsze w jednym punkcie.. Najelegantszym wynikiem geometrii rzutowej jest.. zasada dualności.. mówiąca, iż dowolne prawdziwe twierdzenie pozostaje w obrębie tej geometrii prawdziwe, jeśli zamienimy w nim pojęcia „prosta” i „punkt” (i odpowiednio „przechodzi przez” z „leży na”).. Geometria wykreślna jest szeroko używaną w.. technice.. architekturze.. nauką stosowaną.. , zajmującą się sposobami jednoznacznego przedstawiania trójwymiarowych obiektów w formie.. rzutów prostokątnych.. na prostopadłe płaszczyzny.. (tzw.. rzutnie.. Proste odwzorowywane są następująco: przez daną prostą prowadzimy płaszczyzny.. prostopadłe odpowiednio do rzutni.. płaszczyzny rzutujące.. Ich krawędzie przecięcia z rzutniami to właśnie rzuty poziomy i pionowy prostej.. Takie dwa rzuty prostej jednoznacznie ją identyfikują, z wyjątkiem przypadku prostej prostopadłej do osi.. i nierównoległej do żadnej z pozostałych osi.. Jej rzuty są identyczne z rzutami dowolnej innej prostej na płaszczyźnie prostopadłej do osi.. Aby jednoznacznie ją odwzorować, konieczne jest przedstawienie dodatkowo rzutów dwóch dowolnych jej punktów.. Jeśli prosta jest prostopadła do jednej z rzutni, jej rzut na tę rzutnię staje się punktem i zbędne staje się prowadzenie płaszczyzny prostopadłej do tej rzutni.. Niektóre proste mają szczególne nazwy ze względu na położenie względem rzutni:.. prosta pozioma.. – równoległa do rzutni poziomej.. ; jej punkty mają jednakową wysokość;.. prosta czołowa.. – równoległa do rzutni pionowej.. ; jej punkty mają jednakową głębokość;.. prosta pionowa.. – prostopadła do rzutni.. ; rzutem poziomym jest punkt;.. prosta celowa.. ; rzutem pionowym jest punkt.. Perspektywa dwupunktowa.. – dzieło.. punkt.. odcinek.. półprosta.. perspektywa.. krzywa.. konstrukcje geometryczne.. ewolwenta.. geometria wykreślna.. aksjomat Archimedesa.. powierzchnia prostokreślna.. kolineacja.. przekształcenie afiniczne.. rzut równoległy.. rzut prostokątny.. twierdzenie Cevy.. twierdzenie o trzech prostopadłych.. wskaźniki Millera.. Richard A.. Silverman:.. Modern Calculus and Analytic Geometry.. Courier Dover Publications, 2002, s.. 550.. ISBN 0-486-42100-7.. , 9780486421001.. Trygonometrią sferyczną zajmował się już w I w.. Menelaos z Aleksandrii.. , a po nim.. Klaudiusz Ptolemeusz.. Źródło:.. Aby było to możliwe, przestrzeń musi być tzw.. G-przestrzenią.. Herberta Busemanna.. , będącą szczególnym przypadkiem.. przestrzeni metrycznej.. S.. Singh:.. Fundamentals of Optical Engineering.. Discovery Publishing House, s.. 53.. ISBN 81-8356-436-4.. , 9788183564366.. ang.. Alekseĭ Vasilʹevich Pogorelov, Leo F.. Boron:.. Differential geometry.. P.. Noordhoff, 1967, s.. 155.. Księga I, Definicja 2.. Księga I, Definicja 4.. Księga I, Definicja 23.. w sensie.. metryki euklidesowej.. inkluzji.. Bronsztejn i Siemiendiajew 1976 ↓.. 262.. Zobacz.. przestrzeń euklidesowa.. Na przykład aksjomat ten jest niezbędny do udowodnienia.. twierdzenia Pitagorasa.. oraz twierdzenia o sumie kątów wewnętrznych trójkąta, równej 180°.. Z reguły w geometrii Łobaczewskiego używa się innej terminologii: nie zawsze proste nieprzecinające się nazywane są równoległymi.. Dlatego w tym pewniku często zamiast słowa "równoległa" mówi się "rozłączna".. Jednak w tym przypadku trzeba zmienić nie tylko piąty postulat, ale również niektóre inne aksjomaty geometrii euklidesowej.. Na ogół w polskiej literaturze pisze się o ".. kołach wielkich.. " sfery, jednak jest to niekonsekwentne, gdyż koło to figura z wnętrzem, a krzywa będąca jej brzegiem to okrąg.. W literaturze anglosaskiej spotykamy się za to konsekwentnie z określeniem.. great circle.. a nie.. great disc.. en:Geodesic (general relativity).. Ściślej: grawitacja to zakrzywienie czasoprzestrzeni, w której znajduje się.. trajektoria.. danego ciała.. Trajektoria jest w czasoprzestrzeni statyczną i niezmienną krzywą.. W czasoprzestrzeni formalnie nic się nie zmienia ani nie porusza, bo obejmuje ona wszystkie chwile czasowe jednocześnie.. Andrzej Szczepan Białynicki-Birula.. Algebra liniowa z geometrią.. PWN.. , 1976, seria: Biblioteka Matematyczna.. Franciszek Otto, Edward Otto:.. Podręcznik geometrii wykreślnej.. Warszawa: PWN, 1975.. ISBN 978-83-01-00933-5.. Wanda Szmielew:.. Od geometrii afinicznej do euklidesowej: rozważania nad aksjomatyką.. Warszawa: PWN, 1983.. ISBN 83-01-03513-7.. Większość wzorów w tym artykule pochodzi z:.. Igor N.. Bronsztejn, Konstantin A.. Siemiendiajew:.. Matematyka, poradnik encyklopedyczny.. VI.. Warszawa: PWN, 1976.. Tomasz Bogaczyk, Teresa Romaszkiewicz-Białas:.. 13 wykładów z geometrii wykreślnej.. Wrocław: Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, 2003.. ISBN 83-7085-725-6.. Marcin Braun:.. Konstrukcje geometryczne i jak sobie z nimi radzić.. Gdańsk: Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, 1995.. ISBN 83-85694-19-6.. Maciej Bryński, Ludomir Włodarski:.. Konstrukcje geometryczne.. Warszawa: WSiP, 1979, seria: Biblioteczka Delty.. Matematyka.. ISBN 83-02-00856-7.. Harold Scott MacDonald Coxeter.. Wstęp do geometrii dawnej i nowej.. Warszawa: PWN, 1967.. Nikolai Vladimirovič Efimov, E.. R.. Rozendorn:.. Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową.. Warszawa: PWN, 1974.. Sylvestre Gallot, Dominique Hulin, Jacques Lafontaine:.. Riemannian geometry.. Berlin: Springer Verlag, 1993.. ISBN 3-540-52401-0.. ISBN 0-387-52401-0.. Marek Kordos, Ludomir Włodarski:.. O geometrii dla postronnych.. Warszawa: PWN, 1981, seria: Biblioteka Problemów.. ISBN 83-01-02788-6.. Marek Kordos:.. O różnych geometriach.. Warszawa: Alfa, 1987, seria: Delta przedstawia.. ISBN 83-7001-087-3.. Franciszek Leja.. Geometria analityczna.. Warszawa: PWN, 1977.. Stanisław Łojasiewicz:.. Wstęp do geometrii analitycznej zespolonej.. T.. 68.. Warszawa: PWN, 1988, seria: Biblioteka Matematyczna.. ISBN 83-01-07464-7.. Mieczysław Majewski:.. Perspektywa wraz z konstrukcjami cieni dla kierunków architektura.. Szczecin: Wydawnictwo Uczelniane Politechniki Szczecińskiej, 1984.. Eugeniusz Niczyporowicz:.. Krzywe płaskie – wybrane zagadnienia z geometrii analitycznej i różniczkowej.. Warszawa: PWN, 1991.. ISBN 83-01-09734-5.. Hipolit Rumbowicz:.. Początki linearnego rysunku ułożone dla szkół parafialnych przez Hipolita Rumbowicza.. Wilno: N.. Glückenberg, 1827.. Stanisław Szerszeń:.. Nauka o rzutach.. Warszawa: PWN, 1978.. Michał Szurek.. Opowieści geometryczne.. Warszawa: WSiP, 1995.. ISBN 83-02-05664-2.. Bronisław Ślusarczyk:.. Podstawy prostopadłych odwzorowań geometrycznych.. Warszawa, Łódź: PWN, 1981.. ISBN 83-01-02562-X.. Informacje.. siostrzanych projektach.. Cytaty.. Wikicytatach.. Definicje słownikowe.. Wikisłowniku.. Applet pokazujący różne równania prostej na płaszczyźnie.. Marceli Stark:.. Geometria analityczna, Monografie Matematyczne, Tom 26.. W:.. Biblioteka Wirtualna Nauki ICM.. [on-line].. Warszawa-Wrocław, 1951.. Proste na płaszczyźnie.. php?title=Prosta oldid=38673938.. Kategorie.. Artykuły na medal.. Krzywe.. Ukryta kategoria:.. Wyróżnione artykuły.. Alemannisch.. অসম য.. Asturianu.. Bân-lâm-gú.. ChiShona.. Gàidhlig.. 客家語/Hak-kâ-ngî.. Interlingua.. Basa Jawa.. Қазақша.. Kiswahili.. Kreyòl ayisyen.. Kurdî.. Кыргызча.. Lingála.. Монгол.. न प ल भ ष.. Oʻzbekcha.. Pälzisch.. پښتو.. ភ ស ខ ម រ.. Plattdüütsch.. Runa Simi.. کوردی.. 文言.. יי דיש.. 粵語.. Tę stronę ostatnio zmodyfikowano o 16:59, 10 lut 2014..

    Original link path: /wiki/Prosta
    Open archive

  • Title: Twierdzenie o nieskończonej liczbie małp – Wikipedia, wolna encyklopedia
    Descriptive info: Twierdzenie o nieskończonej liczbie małp.. Ten artykuł należy dopracować:.. poprawić styl – powinien mieć encyklopedyczną formę.. , popularnonaukowy styl niektórych zdań.. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, znajdują się w sekcji.. Styl artykułu.. szympans.. miałby wystarczająco dużo czasu, to naciskając losowe klawisze jest w stanie napisać jedną ze sztuk.. Szekspira.. stwierdza, że.. małpa.. naciskająca losowo klawisze.. maszyny do pisania.. przez nieskończenie długi czas, prawie na pewno napisze dowolnie wybrany tekst, taki jak na przykład.. kompletny dorobek.. Williama Szekspira.. W tym kontekście „.. prawie na pewno.. ” należy traktować ściśle z matematycznego punktu widzenia (zdarzenie przeciwne ma.. prawdopodobieństwo.. równe zeru, jednak nie jest.. zdarzeniem niemożliwym.. ), a „małpa” jest jedynie metaforą dla abstrakcyjnego urządzenia generującego nieskończony losowy ciąg liter.. Twierdzenie ilustruje zagrożenia płynące z postrzegania nieskończoności jako olbrzymiej, ale skończonej liczby, a także z rozumowania odwrotnego – postrzegania dużej liczby jako nieskończoności.. Prawdopodobieństwo napisania przez małpę zadanego tekstu, złożonego z dużej liczby znaków, jak na przykład.. Hamlet.. , jest tak małe, że szansa wystąpienia zadanego ciągu znaków nawet w czasie rzędu wieku wszechświata jest znikoma.. Warianty twierdzenia zakładają kilka, a nawet nieskończenie wiele małp, a długość zadanego tekstu zmienia się od pojedynczego zdania do zawartości całej biblioteki.. Historię twierdzenia można prześledzić już od.. Metafizyki.. Arystotelesa.. De natura deorum.. Cycerona.. , następnie przez czasy.. Pascala.. Swifta.. , aż do współczesnych twierdzeń z ich symbolem maszyny do pisania.. Na początku XX wieku,.. Émile Borel.. Arthur Eddington.. użyli tego twierdzenia, by zilustrować skalę czasu znajdującą się u podstaw.. mechaniki statystycznej.. Rozmaici chrześcijańscy.. apologeci.. z jednej strony i.. Richard Dawkins.. z drugiej, spierali się w kwestii właściwości użycia małp jako metafory ewolucji.. Obecnie zainteresowanie twierdzeniem o małpach piszących na maszynie jest podtrzymywane przez odwołania w literaturze, telewizji i radiu, muzyce i w internecie.. Symulująca eksperyment z małpami strona internetowa „Monkey Shakespeare Simulator” zdołała dotrzeć do 24.. znaku – „RUMOUR.. Open your ears;”.. W 2003 roku przeprowadzono dla żartu eksperyment z sześcioma.. makakami czubatymi.. , ale ich wkład w literaturę ograniczył się jedynie do pięciu stron składających się głównie z liter.. , pomijając fakt atakowania i wypróżniania się na klawiaturę.. Badacze ocenili, że twierdzenie o nieskończonej liczbie małp nie odnosi się do rzeczywistych małp.. Dowód.. Założenia.. Prawdopodobieństwo.. Mechanika statystyczna.. Geneza i „La biblioteca total”.. Ewolucja.. Literatura.. Generowanie liczb losowych.. Empiria.. Popkultura.. Generalnie można udowodnić, że.. z prawdopodobieństwem 1.. (co nie znaczy.. na pewno.. ) Hamleta napiszą zarówno jedna małpa z nieograniczonym czasem do dyspozycji, jak i nieskończona liczba małp w skończonym czasie.. Aby twierdzenie było prawdziwe konieczne są pewne założenia:.. Każda litera ma niezerowe prawdopodobieństwo.. Gdyby np.. małpy omijały literę.. H.. , Hamlet nie zostałby nigdy napisany.. Małpy nie zmieniają zachowania (.. proces.. „małpa” jest.. stacjonarny.. Gdyby małpy wciskały.. coraz rzadziej, to przy pewnych założeniach twierdzenie o napisaniu Hamleta przez jedną małpę w nieskończonym czasie także byłoby fałszywe.. Każda litera jest niezależna od pozostałych.. po literze.. zawsze następowało jej powtórzenie, Hamlet nie zostałby nigdy napisany.. Ignorując znaki interpunkcyjne, spacje oraz pisownię wielką literą, małpa pisząca z równomiernym rozkładem prawdopodobieństwa ma jedną szansę na 26.. , by poprawnie napisać pierwszą literę.. Hamleta.. Ma jedynie jedną szansę na 676 (26 razy 26), by napisać dwie pierwsze litery.. Ponieważ prawdopodobieństwo spada wykładniczo, przy 20 literach ma zaledwie jedną szansę na 26.. 20.. = 19 928 148 895 209 409 152 340 197 376.. W przypadku całego tekstu.. prawdopodobieństwo to jest niewyobrażalnie małe.. Załóżmy, że tekst Hamleta zawiera 130 000 znaków (w rzeczywistości więcej, nawet pozbawiony interpunkcji).. Wtedy prawdopodobieństwo wylosowania takiego tekstu jest jak 1 do 3,4×10.. 183946.. Średnia liczba liter, jakie trzeba napisać, wynosi więc 3,4×10.. Dla porównania, istnieje jedynie około 10.. 79.. atomów w obserwowalnym Wszechświecie i zaledwie 4,3×10.. 17.. sekund upłynęło od.. Wielkiego Wybuchu.. Nawet jeśli wszechświat byłby wypełniony małpami piszącymi bez przerwy, ich całkowite prawdopodobieństwo stworzenia pojedynczego.. byłoby i tak mniejsze niż 1 do 10.. 183800.. Jak ujęli to.. Kittel.. Kroemer.. , „Prawdopodobieństwo napisania.. jest więc równe zeru dla każdej możliwej realizacji”, a stwierdzenie, że małpom musi ostatecznie się powieść „prowadzi do zwodniczych wniosków o bardzo, bardzo wielkich liczbach”.. Wypowiedzi te pochodzą z ich książki o.. termodynamice.. , dziedzinie nauki, której statystyczne podstawy sprowokowały pierwsze znane użycie metafory małp piszących na maszynie.. Jedna ze znanej obecnie matematykom wersji twierdzenia z piszącymi małpami, ukazała się w artykule Émila Borela z 1913 roku zatytułowanym „Mécanique Statistique et Irréversibilité” (Mechanika statystyczna i nieodwracalność).. oraz w jego książce "Le Hasard" z 1914.. Jego „małpy” nie są prawdziwymi małpami, a jedynie metaforą nierzeczywistego sposobu tworzenia wielkich, losowych sekwencji znaków.. Borel stwierdził, że gdyby milion małp pisał na maszynie po dziesięć godzin dziennie, byłoby skrajnie mało prawdopodobne, że efekt ich pracy byłby dokładną kopią całych księgozbiorów najbogatszych księgarni świata; ale jednocześnie, jest jeszcze mniej prawdopodobne, by prawa mechaniki statystycznej zostały złamane, choćby nieznacznie.. Fizyk Arthur Eddington czerpiąc z wizji Borela, posunął się o krok dalej w.. The Nature of the Physical World.. (1928), pisząc:.. Jeśli pozwolę moim palcom poruszać się bezładnie po klawiaturze, może się zdarzyć, że otrzymam logiczne zdanie.. Jeśli armia małp będzie klikać na swoich maszynach do pisania, mogą napisać wszystkie książki z British Museum.. Prawdopodobieństwo, że im się to uda jest zdecydowanie większe, niż prawdopodobieństwo cząsteczek powracających do jednej części naczynia.. — Arthur Eddington.. , The Nature of the Physical World: The Gifford Lectures.. Te obrazy zmuszają czytelnika do rozważenia, jak niewielkie jest prawdopodobieństwo, by wielka – ale skończona – liczba małp pisząca przez wielki – ale skończony – okres, była zdolna otrzymać jakieś znaczące dzieło oraz porównania tego z jeszcze mniejszym prawdopodobieństwem niektórych zdarzeń w fizyce.. Każdy fizyczny proces mniej prawdopodobny niż powodzenie w przypadku małp, jest w istocie niemożliwy i można bezpiecznie powiedzieć, że nigdy nie wystąpi.. W eseju z 1939 roku zatytułowanym „La biblioteca total” (zupełna biblioteka), argentyński pisarz.. Jorge Luis Borges.. prześledził koncepcję nieskończonej liczby małp aż do czasów.. Wyjaśniając poglądy.. Leucypa.. , który utrzymywał, że świat powstał z losowej kombinacji.. atomów.. , Arystoteles zauważa, że same atomy są nierozróżnialne, a ich możliwe układy różnią się jedynie pozycją i ustawieniem.. Grecki filozof porównuje to do faktu, że.. tragedia.. komedia.. składają się z tych samych „atomów”, to znaczy z tych samych liter.. Trzy wieki później w.. O naturze bogów.. Cyceron.. sprzeczał się z tym atomistycznym światopoglądem:.. Ten, kto daje temu wiarę, może równie dobrze wierzyć, że gdyby rzucono na ziemię wielką liczbę liter alfabetu ze złota czy innego materiału, ułożyłyby się one w takim porządku, by dało się odczytać.. Annales.. Enniusza.. Wątpię, by los pozwolił na odczytanie choć jednego wersu.. — Cyceron.. , De natura deorum.. Borges śledząc historię dyskusji zauważył zmianę języka od czasów.. Blaise'a Pascala.. Jonathana Swifta.. Do roku.. 1939.. twierdzenie miało już bowiem postać: „Jeśli dać połowie tuzina małp maszyny do pisania, to w nieskończenie długim czasie, stworzą wszystkie książki z British Museum”.. (do czego Borges dodaje, że „ściśle rzecz ujmując wystarczyłaby jedna nieśmiertelna małpa”.. Borges wyobraża sobie następnie zawartość.. zupełnej biblioteki.. , jaka powstałaby przy takim przedsięwzięciu posuniętym do skrajności:.. Wszystko znalazłoby się w tych pisanych na ślepo zbiorach.. Wszystko: powstałyby szczegółowa historia przyszłości, zaginione utwory.. Ajschylosa.. , dokładna liczba razy odbicia przelatującego sokoła w wodach.. Gangesu.. , sekret i prawdziwe oblicze.. Rzymu.. , encyklopedia.. Novalis.. oraz moje sny i.. świadomy sen.. o świcie 14 sierpnia 1934 roku, dowód.. twierdzenia Pierre'a Fermata.. , nienapisane rozdziały.. The Mystery of Edwin Drood.. , te same rozdziały przetłumaczone na język.. Garamantów.. , (…) pieśń, którą śpiewały.. syreny.. , kompletny katalog tejże biblioteki oraz dowody nieścisłości w tymże katalogu.. Wszystko: ale na każdą sensowną linijkę tekstu, czy na konkretny fakt, przypadałyby miliony linijek bezsensownej kakofonii i słownego bełkotu.. Wszystko: ale wszystkie pokolenia ludzkości mogłyby przeminąć przed jej oszałamiającymi półkami – półkami przyćmiewającymi dzień i wypełnionymi chaosem – nim te nagrodziłyby ich choć jedną znośną stroną.. — Jorge Luis Borges.. , La biblioteca total.. Thomas Huxley.. Błędnie przypisuje się mu wariant teorii..  ...   Arif Zaman.. relacjonują, że zwykli byli nazywać takie testy „testami zachodzących na siebie.. m-tek.. ” (.. overlapping m-tuple tests.. ) na swoich wykładach, gdyż bazowały one na zachodzących na siebie m-tkach kolejnych elementów w losowej sekwencji.. Stwierdzili jednak, że nazywanie ich „małpimi testami” pomagało zainteresować studentów.. W 1993 roku opublikowali oni raport dotyczący tej klasy testów i ich wyniki dla różnych generatorów liczb losowych.. [29].. [30].. Makak czubaty.. Badacze zachowań naczelnych Cheney i Seyfarth zauważają, że prawdziwe małpy rzeczywiście musiałyby polegać na przypadku usiłując uzyskać kopię.. Romea i Julii.. Z wyjątkiem.. małp człekokształtnych.. , a zwłaszcza szympansów, dowody wskazują, że małpy nie posiadają umysłu zdolnego do odróżniania swojej wiedzy, emocji i przekonań od innych.. Nawet gdyby małpa nauczyła się napisać treść sztuki i opisać zachowania jej postaci, to nie będzie w stanie przeniknąć myśli postaci, w ten sposób prowadząc do ironicznej tragedii.. [31].. W 2003 roku, wykładowcy i studenci z kursu.. MediaLab Arts.. Uniwersytetu Plymouth wykorzystali grant w wysokości 2000 funtów pochodzący z Arts Council by sprawdzić co są w stanie napisać prawdziwe małpy.. Pozostawili klawiaturę komputerową w zagrodzie sześciu.. makaków czubatych.. w zoo Paignton w.. Devon.. Anglii.. na miesiąc, z łączem radiowym do publikacji wyników na stronie internetowej.. Jeden z badaczy, Mike Phillips, uzasadniał wysokość poniesionych kosztów jako znacznie tańsze niż.. reality show.. , ale wciąż „pobudzające i fascynujące widowisko”.. [32].. Małpy nie tylko stworzyły zaledwie pięć stron.. [33].. składających się głównie z litery.. – dominujący samiec zaczął walić w klawiaturę kamieniem, a następnie małpy dokończyły dzieła oddając na nią mocz i kał.. Pracownik naukowy zoo stwierdził, że eksperyment miał „małą wartość naukową, z wyjątkiem ukazania, że «twierdzenie o nieskończonej liczbie małp» jest obarczone wadą”.. Phillips stwierdził, że sfinansowany przez artystów projekt był głównie rodzajem.. performance.. 'u, oraz że nauczyli się z niego „strasznie dużo”.. Jego konkluzją był fakt, że małpy „nie są generatorami losowymi.. Są znacznie bardziej złożone.. (…) Były mocno zainteresowane ekranem, na którym widziały, że w przypadku wciśnięcia klawisza coś się działo.. Było to w jakimś stopniu działanie zamierzone”.. [34].. Twierdzenie o nieskończonej liczbie małp i związane z nią obrazy uważa się za potoczną ilustrację rachunku prawdopodobieństwa, rozpowszechnioną raczej dzięki przekazom w popkulturze, niż dzięki wiedzy zdobytej w szkole.. [35].. [36].. We wstępie do „Monkeys, Typewriters and Networks – the Internet in the Light of the Theory of Accidental Excellence” (2001, Hoffmann and Hofmann).. [37].. została zauważona wyjątkowa popularność i zasięg twierdzenia.. W 2002 roku, w artykule.. Washington Post.. napisano: „Mnóstwo ludzi bawiło wyobrażenie, że nieskończenie duża liczba małp z nieskończenie dużą liczbą maszyn do pisania oraz w nieskończenie długim czasie może ostatecznie napisać dzieła Szekspira”.. [38].. W 2003 roku, wspomniany wcześniej eksperyment finansowany przez Arts Council z użyciem prawdziwych małp i klawiatury komputerowej został szeroko opisany w relacjach prasowych.. [39].. W 2007 roku, twierdzenie zostało umieszczone przez magazyn.. Wired.. na liście ośmiu klasycznych.. eksperymentów myślowych.. [40].. Historia ilustracji „piszących małp” sięga co najmniej czasów użycia przez Borela metafory w jego eseju z 1913 roku i obraz ten powtarzał się wielokrotnie w różnych środkach przekazu.. Obecnie, powszechne zainteresowanie piszącymi na maszynie małpami jest podtrzymywane przez liczne nawiązania w literaturze, telewizji i radiu, w muzyce oraz w internecie, a także w komiksach i kabaretach.. Prawo wielkich liczb.. Outer space: Monkey business.. [dostęp 29 września 2007].. Tekst ten pochodzi z.. Henryka IV, części 2.. News You May Have Missed, But Shouldn't Have.. liczba liter w angielskim alfabecie.. Dla każdego danego ciągu długości 130 000 znaków ze zbioru od.. a.. z.. , średnia liczba liter, które należy napisać, by pojawił się ciąg, to około 3,4×10.. , z wyjątkiem sytuacji, gdy wszystkie litery szukanego ciągu są takie same, gdyż wtedy wartość zwiększa się o około 4%, do 3,6×10.. Tym samym niepowodzenie odnalezienia właściwego ciągu w konkretnym miejscu spada o około 4% prawdopodobieństwa poprawnego ciągu zaczynającego się na następnej pozycji.. (To znaczy, dla pozycji oddalonych od siebie o mniej niż długość szukanego ciągu zdarzenia znalezienia go nie są niezależne; występuje korelacja między dwoma trafieniami, taka że szansa na sukces po porażce jest mniejsza niż ogólne prawdopodobieństwo).. 6,0.. 6,1.. Charles Kittel.. Herbert Kroemer.. Thermal Physics (2nd ed.. 1980, s.. ISBN 0-7167-1088-9.. Mécanique Statistique et Irréversibilité.. „J.. Phys.. 5e série”.. 3, s.. 189–196, 1913.. Arthur Eddington:.. The Nature of the Physical World: The.. Gifford Lectures.. New York: 1928, s.. 72.. ISBN 0-8414-3885-4.. Marcus Tullius Cicero,.. „that a half-dozen monkeys provided with typewriters would, in a few eternities, produce all the books in the British Museum.. ”.. „Strictly speaking, one immortal monkey would suffice.. Borges, Jorge Luis.. La biblioteca total.. , 1939.. Przekład.. Eliot Weinberger.. Selected Non-Fictions.. (Penguin: 1999),.. ISBN 0-670-84947-2.. Thanu Padmanabhan.. The dark side of astronomy.. „Nature”.. 435, s.. 20–21, 2005.. DOI.. doi:10.. 1038/435020a.. Suzy Platt:.. Respectfully quoted: a dictionary of quotations.. 1993, s.. 388–389.. ISBN 0-88029-768-9.. Nicholas Rescher:.. Studies in the Philosophy of Science.. 2006, s.. 103.. ISBN 3-938793-20-1.. Lucas.. Wilberforce and Huxley: A Legendary Encounter.. „The Historical Journal”.. Czerwiec.. 2/22, s.. 313–330, 1979.. Dostępne także on-line.. (dostęp 2007-03-07).. Doug Powell:.. Holman Quicksource Guide to Christian Apologetics.. 60, 63.. ISBN 0-8054-9460-X.. John MacArthur:.. Think Biblically!: Recovering a Christian Worldview.. 2003, s.. 78–79.. ISBN 1-58134-412-0.. Methinks it is like a weasel.. określa wygląd obłoku jako podobny do łasicy.. Richard Dawkins:.. The Blind Watchmaker.. 1986.. Cytat zawarty w.. James Blachowicz:.. Of Two Minds: Nature of Inquiry.. 1998, s.. 109.. ISBN 0-7914-3641-1.. James Valentine:.. On the Origin of Phyla.. 2004, s.. 77–80.. ISBN 0-226-84548-6.. The Principles of Art.. s.. 126, streszczona i z cytatami w.. Richard J.. Sclafani.. The logical primitiveness of the concept of a work of art.. „British Journal of Aesthetics”.. 15, 1975.. 1093/bjaesthetics/15.. „Pierre Menard, autor del Quijote” to opowiadanie o fikcyjnym autorze (Pierre Menard), który pisze tekst.. Don Kichota.. identyczny z tym.. Cervantesa.. , ale przez narratora-recenzenta postrzegany jako dużo głębszy i bogatszy.. John, Eileen i Dominic Lopes:.. The Philosophy of Literature: Contemporary and Classic Readings: An Anthology.. 96.. ISBN 1-4051-1208-5.. Gérard Genette:.. The Work of Art: Immanence and Transcendence.. 1997.. ISBN 0-8014-8272-0.. Jorge Gracia:.. Texts: Ontological Status, Identity, Author, Audience.. 1996, s.. 1–2, 122–125.. ISBN 0-7914-2901-6.. Joan Acocella, „The Typing Life: How writers used to write”,.. April 9.. 2007.. , recenzja.. The Iron Whim: A Fragmented History of Typewriting.. (Cornell) 2007, Darren Wershler-Henry.. [dostęp 2006-06-13].. W dniu 2007-02-02 łącze nieaktywne.. George Marsaglia i Arif Zaman.. Monkey Tests for Random Number Generators.. „Computers Mathematics with Applications”.. 9, s.. 1–10, 1993.. Ora E.. Percus, Paula A.. Whitlock.. Theory and application of Marsaglia's monkey test for pseudorandom number generators.. „ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation”.. 1145/210330.. 210331.. Dorothy L.. Cheney i Robert M.. Seyfarth:.. How Monkeys See the World: Inside the Mind of Another Species.. 1992, s.. 253–255.. ISBN 0-226-10246-7.. 32,0.. 32,1.. No words to describe monkeys' play.. BBC News, 2003-05-09.. [dostęp 2007-02-05].. Notes Towards the Complete Works of Shakespeare.. vivaria.. net, 2002.. Associated Press:.. Monkeys Don't Write Shakespeare.. Wired News, 2003-05-09.. [dostęp 2007-03-02].. Why Creativity Is Not like the Proverbial Typing Monkey.. Jonathan W.. Schooler, Sonya Dougal,.. Psychological Inquiry.. , tom 10, nr 4 (1999).. The Case of the Midwife Toad.. Arthur Koestler.. , Nowy Jork, 1972, s.. 30): „Neodarwinizm w istocie sięga szczytu dziewiętnastowiecznego piętna materializmu, jakim jest przysłowiowa małpa z maszyną do pisania, pisząca całkowicie losowo, trafiając w odpowiednie klawisze, by uzyskać sonet Szekspira.. ” Źródło:.. Parable of the Monkeys.. Monkeys, Typewriters and Networks.. , Ute Hoffmann Jeanette Hofmann, Wissenschaftszentrum Berlin für Sozialforschung gGmbH (WZB), 2001.. "Hello? This is Bob".. , Ken Ringle,.. , 2002-10-28, s.. C01.. – zbiór wycinków prasowych.. The Best Thought Experiments: Schrödinger's Cat, Borel's Monkeys.. , Greta Lorge, Wired, numer 15.. 06, Maj 2007.. The Parable of the Monkeys.. – zbiór cytatów odwołujących się do twierdzenia.. php?title=Twierdzenie_o_nieskończonej_liczbie_małp oldid=40305451.. Paradoksy.. Rozrywka matematyczna.. Ewolucjonizm.. Rachunek prawdopodobieństwa.. Artykuły wymagające poprawy stylu.. Lojban.. न प ल.. Tę stronę ostatnio zmodyfikowano o 19:33, 1 wrz 2014..

    Original link path: /wiki/Twierdzenie_o_niesko%C5%84czonej_liczbie_ma%C5%82p
    Open archive
  •  

  • Title: Algebra Boole’a – Wikipedia, wolna encyklopedia
    Descriptive info: Algebra Boole’a.. Diagram Hassego.. dla algebry Boole'a podzbiorów zbioru trójelementowego.. Algebra Boole'a.. algebra ogólna.. stosowana w.. informatyce.. teoretycznej oraz.. elektronice cyfrowej.. Jej nazwa pochodzi od nazwiska matematyka,.. filozofa.. i logika.. George'a Boole'a.. Teoria algebr Boole'a jest działem matematyki na pograniczu teorii.. częściowego porządku.. algebry.. logiki matematycznej.. Typowymi przykładami algebr Boole'a są:.. rodzina.. wszystkich.. podzbiorów.. ustalonego.. zbioru.. wraz działaniami na zbiorach jako operacjami algebry oraz dwuelementowa algebra.. wartości logicznych.. {0, 1} z działaniami.. koniunkcji.. alternatywy.. negacji.. Oznaczenia.. Minimalna aksjomatyzacja.. Przykłady.. Uporządkowanie.. Ideały, algebry ilorazowe i homomorfizmy.. Autodualność.. Algebry wolne.. Zupełne algebry Boole'a.. Działania nieskończone.. Zupełność.. Zbiory niezależne.. Funkcje kardynalne.. Reprezentacja.. Pierścienie Boole'a.. to struktura algebraiczna.. , w której.. działaniami dwuargumentowymi.. jest operacją jednoargumentową, a 0 i 1 są wyróżnionymi różnymi elementami zbioru.. , spełniająca następujące warunki dla wszystkich.. łączność.. przemienność.. absorpcja.. rozdzielność.. pochłanianie.. Różne oznaczenia.. Suma.. Iloczyn.. Negacja.. Istnieją co najmniej trzy różne, szeroko rozpowszechnione tradycje oznaczeń w teorii algebr Boole'a.. W definicji sformułowanej powyżej użyto symboli.. , ale w częstym użyciu są również.. Symbole oznaczające operacje dwuczłonowe algebry Boole'a są prawie zawsze wprowadzane przez wybór jednej z par.. W oznaczeniach operacji jednoargumentowej algebry istnieje mniejsza konsekwencja i można się spotkać zarówno z symbolami.. jak i.. System oznaczeń przedstawiony powyżej (i dalej przyjmowany w tym artykule) jest używany np.. w podręczniku.. Heleny Rasiowej.. W badaniach.. teoriomnogościowych.. aspektów algebr Boole'a przeważa tradycja używania oznaczeń.. Ten sam system został też wybrany za wiodący przez redaktorów.. monografii.. Handbook of Boolean Algebras.. Z kolei symbole.. zgodne z oznaczeniami w teorii.. krat.. są częściej używane w kontekstach algebraicznych (i teoriokratowych).. Spotykane są też inne kombinacje tychże symboli lub wręcz inne symbole (na przykład w miejsce.. , lub.. zamiast.. W elektronice i informatyce często stosuje się OR, AND oraz NOT w miejsce.. języku C.. oraz w językach nim inspirowanych używa się odpowiednio symboli: |, , !.. Powyższa (tradycyjna) definicja algebry Boole'a nie jest minimalna, np.. nie jest konieczne wprowadzanie w niej symboli 0 i 1.. Mogą one być konsekwencją aksjomatyki a nie niezbędną dla niej definicją.. 0 można zastąpić przez.. a 1 przez.. Dzięki prawom de Morgana można też z aksjomatyki wyeliminować działanie.. (W istocie wszystkie działania można tak naprawdę zastąpić jednym –.. dysjunkcją.. (NAND) lub.. binegacją.. (NOR)).. Istnieją równoważne, ale oszczędniejsze definicje algebry Boole'a.. Przykładowy układ niezależnych.. aksjomatów.. to:.. jest przemienne,.. jest łączne,.. aksjomat Huntingtona.. Inny taki układ to:.. jest przemienne.. jest łączne.. aksjomat Robbinsa.. Istnieją też systemy z jednym aksjomatem.. Najprostsza algebra Boole'a ma tylko dwa elementy, 0 i 1, a operacje tej algebry są zdefiniowane przez następujące tabele działań:.. 0.. Algebra ta stanowi podstawę elektroniki cyfrowej.. ciałem podzbiorów.. , to.. jest algebrą Boole'a (gdzie.. oznacza operację.. dopełnienia.. będzie zbiorem.. zdań.. rachunku zdań.. będzie relacją dwuargumentową na zbiorze.. określoną jako:.. wtedy i tylko wtedy, gdy.. tautologią.. Można sprawdzić, że.. relacją równoważności.. na zbiorze.. Na zbiorze.. klas abstrakcji.. relacji.. można wprowadzić operacje.. przez następujące formuły:.. W ten sposób otrzymuje się poprawnie zdefiniowane operacje na zbiorze.. wynik nie zależy od wyboru reprezentantów klas abstrakcji), a.. jest algebrą Boole'a.. Algebra ta jest nazywana.. algebrą Lindenbauma-Tarskiego.. Algebry Lindenbauma-Tarskiego rozważa się również dla.. języków pierwszego rzędu.. w ustalonym alfabecie.. i niech.. będzie niesprzeczną teorią w tym samym języku.. Relację dwuargumentową.. można wprowadzić przez określenie.. Wówczas.. jest relacją równoważności na zbiorze.. Podobnie jak wcześniej:.. Można pokazać, że.. będzie algebrą Boole'a.. Dla wszystkich.. zachodzi:.. prawa De Morgana.. podwójne przeczenie.. W zbiorze.. wprowadza się.. porządek boole'owski.. Tak zdefiniowana.. relacja.. częściowym porządkiem.. Zbiór.. z relacją ≤ jest.. kratą rozdzielną.. Niepusty zbiór.. ideałem.. w algebrze.. , jeśli są spełnione następujące dwa warunki:.. , oraz.. Każdy ideał zawiera element.. Ideał, który nie zawiera elementu.. , nazywany jest.. ideałem właściwym.. Jedynym niewłaściwym ideałem jest całe.. Pojęciem dualnym jest pojęcie.. filtru.. : niepusty zbiór.. filtrem.. , jeśli:.. Każdy filtr zawiera element.. Filtr, który nie zawiera elementu.. filtrem właściwym.. Jedynym niewłaściwym filtrem jest całe.. będzie właściwym ideałem w algebrze.. będzie relacją dwuczłonową na.. taką, że.. wtedy i tylko wtedy gdy.. jest relacją równoważności na.. klas abstrakcji tej relacji można zdefiniować działania.. Pokazuje się, że powyższe definicje są poprawne (tzn.. wynik operacji nie zależy od wyboru reprezentantów z klas abstrakcji) oraz że.. algebrą ilorazową.. i jest oznaczana przez.. będzie algebrą Boole'a  ...   -zupełna.. , jeśli każdy zbiór.. mocy mniejszej niż.. ma kres górny (tzn.. istnieje ilekroć.. Równoważnie: algebra.. -zupełna wtedy i tylko wtedy, gdy każdy zbiór.. , o mocy mniejszej niż.. , ma kres dolny (tzn.. Algebry.. -zupełne są też nazywane.. algebrami.. -zupełnymi.. borelowskich.. podzbiorów.. prostej rzeczywistej.. (a więc jest to.. -zupełna algebra Boole'a) oraz.. , jest rodziną wszystkich zbiorów.. , które są.. pierwszej kategorii.. i algebra ilorazowa.. jest zupełna.. Podobnie dla rodziny.. wszystkich borelowskich.. zbiorów miary zero.. Podzbiór.. algebry Boole'a.. nazywany jest.. niezależnym.. , gdy dla dowolnych zbiorów skończonych.. Do klasycznych twierdzeń dotyczących zbiorów niezależnych w algebrach Boole'a należą:.. twierdzenie Fichtenholza-Kantorowicza.. twierdzenie Balcara-Franka.. W badaniach i opisach algebr Boole'a często używa się.. funkcji kardynalnych.. Przykładami takich funkcji kardynalnych są następujące funkcje.. Celularność.. jest to supremum mocy.. antyłańcuchów.. Długość.. to.. łańcuchem.. Głębokość.. dobrze uporządkowanym.. łańcuchem.. Nieporównywalność.. Pseudo-ciężar.. Twierdzenie Stone'a o reprezentacji algebr Boole'a.. mówi, że każda algebra Boole'a jest izomorficzna z pewnym ciałem zbiorów (traktowanym jako algebra Boole'a).. Dokładniej mówiąc, algebra Boole'a.. jest izomorficzna z ciałem.. otwarto-domkniętych.. podzbiorów przestrzeni.. ultrafiltrów.. przestrzeni Stone'a.. Twierdzenie Stone'a nie może być udowodnione przy użyciu tylko.. ZF.. – wymaga ono założenia pewnej formy.. aksjomatu wyboru.. (rozszerzalności ideałów w algebrach Boole'a do ideałów pierwszych).. Każda.. skończona.. algebra Boole'a jest izomorficzna z.. całym.. zbiorem potęgowym.. dla pewnego.. Nazwa „algebra Boole'a” pochodzi od nazwiska.. 1815.. –.. 1864.. ), angielskiego matematyka-samouka.. Wprowadził on algebraiczne ujęcie.. w niewielkiej pracy.. The Mathematical Analysis of Logic.. (Matematyczna analiza logiki), opublikowanej w 1847 roku.. W późniejszej książce.. The Laws of Thought.. (Prawa myśli), opublikowanej w 1854, Boole formułuje problem w bardziej dojrzały sposób, zauważając dualność operacji ∪ i ∩.. Dalszy rozwój algebra Boole'a zawdzięcza.. Williamowi Jevonsowi.. Charlesowi Peirce'owi.. , których prace opublikowane zostały w latach sześćdziesiątych XIX wieku.. W 1890 w.. Vorlesungen.. (Wykłady).. Ernsta Schrödera.. pojawia się pierwszy systematyczny wykład algebry Boole'a i krat rozdzielnych.. Dokładniejsze badania algebr Boole'a podjął.. w wydanym w 1898 roku dziele.. Universal Algebra.. (Algebra ogólna).. Algebra Boole'a jako aksjomatyczna struktura algebraiczna pojawiła się w 1904 roku w pracach.. Huntingtona.. Garrett Birkhoff.. Lattice Theory.. (1940) rozwinął teorię krat.. W latach sześćdziesiątych.. Paul Cohen.. Dana Scott.. i inni osiągnęli głębokie rezultaty w dziedzinie logiki matematycznej i aksjomatycznej teorii zbiorów, korzystając z metody.. osadzonej w teorii algebr Boole'a.. Z pojęciem algebry Boole'a związane jest pojęcie.. pierścienia Boole'a.. Pierścień Boole'a to.. pierścień przemienny.. z jedynką.. , w którym mnożenie spełnia warunek.. dla każdego elementu.. W pierścieniu Boole'a każdy element jest rzędu 2, to znaczy spełnia równość:.. Dowód:.. więc.. Wynika stąd, że:.. Jeżeli w zbiorze.. określi się operację.. różnicy symetrycznej.. przez.. będzie pierścieniem Boole'a; za mnożenie.. przyjmuje się.. I na odwrot – niech.. będzie pierścieniem Boole'a.. Jeżeli zdefiniuje się operacje.. będzie algebrą Boole'a spełniającą.. funkcja boolowska.. ciało zbiorów.. twierdzenie Stone'a.. monadyczna algebra Boole'a.. Zofia Adamowicz.. Paweł Zbierski.. Logic of mathematics.. A modern course of classical logic.. Nowy Jork: A Wiley-Interscience Publication.. John Wiley Sons, Inc.. , 1997, seria: Pure and Applied Mathematics.. ISBN 0-471-06026-7.. , Thomas C.. Bartee:.. Współczesna algebra stosowana.. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1983, seria: Matematyka dla Politechnik.. ISBN 8301045604.. Thomas Jech.. Set theory.. Berlin: Springer-Verlag, 1997.. ISBN 3-540-63048-1.. Winfried Just, Martin Weese:.. Discovering modern set theory.. 2: Set-theoretic tools for every mathematician.. Providence, RI:.. American Mathematical Society.. , 1997.. ISBN 0-8218-0528-2.. Sabine Koppelberg:.. Handbook of Boolean algebras.. Donald Monk i Robert Bonnet (red.. 1,2,3.. Amsterdam: North-Holland Publishing Co.. , 1989.. ISBN 0-444-70261-X.. Kazimierz Kuratowski.. Teoria mnogości: wraz ze wstępem do opisowej teorii mnogości.. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe (PWN), 1978, seria: Monografie Matematyczne 27.. Donald Monk.. Cardinal invariants on Boolean algebras.. Basel: Birkhäuser Verlag, 1996.. ISBN 3-7643-5402-X.. Helena Rasiowa.. Wstęp do matematyki współczesnej.. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1973, seria: Biblioteka Matematyczna t.. Roman Sikorski.. Boolean Algebras (wydanie 3).. Springer Verlag; Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebieterok.. Neue Folge.. Band 25, 1969 (wyd.. 1 – 1960).. •.. d.. e.. Systemy.. cyfrowe.. Bramka logiczna.. Logika kombinacyjna.. Układ sekwencyjny.. Elektronika cyfrowa.. Układ scalony.. (IC).. Teoria.. Synteza logiczna.. Cyfrowe przetwarzanie sygnałów.. Architektura komputera.. Digital audio.. Fotografia cyfrowa.. Digital video.. Literatura elektroniczna.. php?title=Algebra_Boole’a oldid=40356849.. Dobre artykuły.. Algebra przemienna.. Logika matematyczna.. Teoria mnogości.. Gĩkũyũ.. Mirandés.. မ န မ ဘ သ.. Tagalog.. Tę stronę ostatnio zmodyfikowano o 16:51, 6 wrz 2014..

    Original link path: /wiki/Algebra_Boole%E2%80%99a
    Open archive

  • Title: Funkcje trygonometryczne – Wikipedia, wolna encyklopedia
    Descriptive info: Funkcje trygonometryczne.. Funkcje matematyczne.. dziedzina i przeciwdziedzina.. obraz i przeciwobraz.. Funkcje elementarne.. Funkcje algebraiczne.. stała.. liniowa.. kwadratowa.. wielomianowa.. wymierna.. homograficzna.. Funkcje przestępne.. trygonometryczne.. cyklometryczne.. hiperboliczne.. area (polowe).. wykładnicza.. logarytmiczna.. potęgowa.. Funkcje specjalne.. błędu.. Γ.. Β.. (beta).. η.. W.. Lamberta.. Bessela.. ζ.. Funkcje.. teorioliczbowe.. τ.. σ.. Möbiusa.. φ.. π.. λ.. różnowartościowość.. „na”.. wzajemna jednoznaczność.. Przebieg zmienności.. parzystość i nieparzystość.. monotoniczność.. ograniczoność.. okresowość.. jednostajna ciągłość.. lipschitzowskość.. hölderowskość.. różniczkowalność.. całkowalność.. etym.. ) –.. funkcje matematyczne.. wyrażające między innymi.. stosunki.. między długościami boków.. trójkąta prostokątnego.. względem.. miar.. kątów wewnętrznych.. Funkcje trygonometryczne, choć wywodzą się z pojęć geometrycznych, są rozpatrywane także w oderwaniu od.. analizie matematycznej.. są one definiowane m.. szeregów potęgowych.. lub jako rozwiązania pewnych.. równań różniczkowych.. Do funkcji trygonometrycznych współcześnie zalicza się: sinus, cosinus (inna pisownia: kosinus), tangens, cotangens (kotangens), secans (sekans), cosecans (kosekans), z czego dwóch ostatnich obecnie rzadko się używa.. Funkcje trygonometryczne znajdują zastosowanie w wielu działach.. matematyki.. , innych.. naukach ścisłych.. ; działem matematyki badającym te funkcje jest.. trygonometria.. , lub ściślej:.. goniometria.. Definicje.. Definicja z elementów trójkąta prostokątnego.. Definicja za pomocą kąta skierowanego.. Definicja na okręgu jednostkowym i etymologia nazw.. Definicja za pomocą szeregu Taylora.. Definicja za pomocą równań funkcyjnych.. Definicja za pomocą równań różniczkowych.. Definicja za pomocą iloczynów nieskończonych.. Definicja za pomocą ułamków łańcuchowych.. Definicje za pomocą ogólniejszych funkcji.. Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej.. Przebieg zmienności funkcji.. Wykresy.. Wartości dla typowych kątów.. Wzory redukcyjne.. Podstawowe tożsamości trygonometryczne.. Pochodne funkcji trygonometrycznych.. Całki funkcji trygonometrycznych.. Funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonej.. Porównanie z funkcjami zmiennej rzeczywistej.. Części rzeczywiste, urojone, moduły i argumenty.. Wzór Eulera.. Związki z innymi funkcjami.. Funkcje odwrotne do trygonometrycznych.. Harmoniki.. Funkcje hiperboliczne.. Niektóre zastosowania.. Geometria.. Twierdzenia sinusów, cosinusów i tangensów.. Wzory na pole trójkąta.. Iloczyny wektorów.. Współrzędne biegunowe, sferyczne i walcowe.. Geometria sferyczna.. Analiza matematyczna.. Szereg Fouriera.. Funkcja Weierstrassa.. Funkcja Dirichleta.. Teoria liczb.. Zastosowania poza matematyką.. Polskie nazwy.. Oznaczenia funkcji trygonometrycznych.. Istnieje wiele równoważnych definicji funkcji trygonometrycznych, zarówno bazujących na pojęciach geometrycznych, jak i analitycznych.. Funkcje trygonometryczne dla.. kątów ostrych.. można zdefiniować jako.. długości odpowiednich dwóch boków.. przy.. kącie wewnętrznym.. danej miary.. (niżej zastosowano typowe oznaczenia, przedstawione na rysunku obok):.. Oznaczenia boków i kątów trójkąta prostokątnego użyte w definicji.. sinus.. – oznaczany w Polsce.. – stosunek długości przyprostokątnej.. leżącej naprzeciw tego kąta (na rysunku.. ) i długości przeciwprostokątnej.. cosinus.. kosinus.. ) – oznaczany.. – stosunek długości przyprostokątnej przyległej.. do tego kąta.. i przeciwprostokątnej.. tangens.. leżącej naprzeciw tego kąta.. i długości przyprostokątnej.. przyległej do tego kąta;.. cotangens.. kotangens.. ) – oznaczany w Polsce.. przyległej do tego kąta.. leżącej naprzeciw tego kąta;.. secans.. sekans.. – stosunek długości przeciwprostokątnej.. przyległej do kąta ostrego.. odwrotność.. cosinusa;.. cosecans.. kosekans.. leżącej naprzeciw kąta ostrego.. ; odwrotność sinusa.. Powyższe definicje można zebrać w postaci tabelki.. Dla miar kątów.. większych od.. 90°.. oraz dla ujemnych miar kątów skierowanych.. powyższą definicję można uogólnić, przyjmując ujemną długość odpowiednich odcinków.. Dawniej używano też kilku innych funkcji, takich jak:.. sinus versus.. haversin.. half of the versine.. cosinus versus.. exsecans.. Obecnie nie są one używane, choć zastosowanie funkcji haversin upraszczało obliczanie odległości dwóch punktów na powierzchni Ziemi.. Definicja na ramieniu kąta.. Jeżeli.. kąt skierowany.. ustawi się tak, aby jego wierzchołek znalazł się w początku.. prostokątnego układu współrzędnych.. , pierwsze ramię kąta pokrywa się z pierwszą dodatnią.. półosią układu.. , a jego drugie ramię jest dowolną.. leżącą w.. płaszczyźnie.. układu, wychodzącą z punktu.. oraz zawierającą pewien punkt.. różny od.. , to funkcje trygonometryczne miary kąta skierowanego.. określa się wzorami.. Stosunki te nie zależą od położenia punktu.. na ramieniu kąta.. (wynika to wprost z własności.. podobieństwa trójkątów.. Definicja na okręgu jednostkowym.. Jeżeli wokół wierzchołka kąta poprowadzony zostanie okrąg o promieniu 1, czyli tzw.. okrąg jednostkowy, to funkcje trygonometryczne miary kąta ostrego.. wyrażać się będą przez długości odpowiednich odcinków.. Dla miar kątów spoza przedziału.. konieczne jest uogólnienie i przyjęcie ujemnej miary niektórych odcinków, podobnie jak w przypadku definicji na trójkącie prostokątnym.. Jeśli chodzi o definicję samego sinusa i cosinusa, to nie ma takiego problemu w przypadku, gdy zamiast na długości odcinków patrzeć będziemy na współrzędne punktu A, wówczas:.. Alternatywnie, jako argument funkcji trygonometrycznych zamiast długości łuku.. można przyjąć pole.. wycinka.. – ich wartości dla promienia 1 są równe.. Definicja na okręgu jednostkowym ma swój odpowiednik dla.. funkcji hiperbolicznych.. , gdzie argument funkcji definiowany jest jako pole wycinka.. hiperboli.. , analogicznego do.. Definicja ta była historycznie pierwsza.. Wynikają z niej nazwy funkcji trygonometrycznych.. Pierwotnie tymi nazwami określano właśnie długości odpowiednich odcinków, niekoniecznie na okręgu jednostkowym.. Sinus.. , czyli połowa długości cięciwy.. , był w pracach hinduskiego matematyka.. Aryabhaty.. sanskrycie.. nazywany.. ardha-jiva.. ("połowa cięciwy"), co zostało skrócone do.. jiva.. , a następnie transliterowane do arabskiego.. jiba.. (جب).. Europejscy tłumacze,.. Robert z Chester.. Gerardo z Cremony.. w XII-wiecznym.. Toledo.. pomylili.. jaib.. (جب), oznaczającym "zatokę" prawdopodobnie dlatego, że.. (جب) i.. (جب) są tak samo pisane po arabsku (informacja o samogłoskach jest gubiona w piśmie).. znaczy po.. łacinie.. właśnie.. zatoka.. Tangens.. pochodzi od łacińskiego.. tangere.. dotykający, styczny.. , gdyż odcinek.. styczny.. do okręgu.. Secans.. pochodzi z łacińskiego.. secare.. dzielić, rozcinać, rozstrzygać.. i znaczy.. odcięcie.. Pierwotnie nazwa odnosiła się do odcinka.. , odcinanego przez styczną (tangens).. Cosinus.. powstały przez złożenie łacińskiego.. co-.. (wspólnik, towarzysz) i słów sinus, tangens i secans.. Pierwotnie cosinus był nazywany.. complementi sinus.. sinus.. kąta dopełniającego.. Rzeczywiście jest on równy sinusowi miary kąta dopełniającego.. Podobnie cotangens i cosecans są równe tangensowi i secansowi tego kąta.. Przedrostek "ko-" był jednak używany w stosunku do cosinusa już w sanskrycie u Aryabhaty (.. koti-jya, kojya.. ); trudno określić, w jakim stopniu nazwa łacińska do tego nawiązuje.. wzór Taylora.. Funkcja sinus i jej aproksymacje wielomianami stopnia.. utworzonymi z początkowych wyrazów szeregu Taylora.. Definicje za pomocą szeregów określają wartości funkcji trygonometrycznych dla dowolnych.. , dla których da się je zdefiniować, pozwalają też na uogólnienie tych funkcji na zbiór.. liczb zespolonych.. , a nawet na.. algebry operatorów.. przestrzenie unormowane.. pierścienie nilpotentne.. Definicje te są też stosowane do numerycznego obliczania wartości funkcji trygonometrycznych.. Zachodzą równości.. liczby Bernoulliego.. liczby Eulera.. Każdą z funkcji trygonometrycznych, na dowolnym.. przedziale.. zawierającym się w jej dziedzinie, można z dowolną dokładnością.. jednostajnie przybliżać.. wielomianami.. W otoczeniu zera mogą do tego służyć początkowe wyrazy szeregu Taylora.. Nie jest jednak możliwe jednostajne przybliżenie wielomianami funkcji trygonometrycznych w całej ich dziedzinie.. twierdzenie Stone'a-Weierstrassa.. Twierdzenie:.. Istnieje dokładnie jedna para.. funkcji rzeczywistych.. taka, że dla każdego.. Tymi funkcjami są.. Funkcje trygonometryczne sinus i cosinus można zdefiniować.. również jako jedyne funkcje.. spełniające poniższe trzy warunki:.. Sinus i cosinus są rozwiązaniami szczególnymi.. równania różniczkowego.. które opisuje m.. ruch masy podwieszonej na.. sprężynie.. oscylator harmoniczny.. , patrz.. Sinus jest jedynym rozwiązaniem tego równania spełniającym warunki.. Cosinus natomiast jest jedynym rozwiązaniem, dla którego.. Funkcje trygonometryczne można też wprowadzić za pomocą.. iloczynów nieskończonych.. Niektóre funkcje trygonometryczne można wyrazić w postaci.. ułamków łańcuchowych.. Funkcje trygonometryczne można też zdefiniować analitycznie jako szczególne przypadki.. funkcji Bessela.. funkcji Mathieu.. funkcji eliptycznych Jacobiego.. W matematyce na poziomie szkół średnich i w wielu praktycznych zastosowaniach rozpatruje się funkcje trygonometryczne dla argumentu będącego.. liczbą rzeczywistą.. Mają one wówczas następujące własności:.. Dziedzina.. asymptoty.. Funkcje sinus i cosinus określone są dla każdej liczby rzeczywistej.. Tangens jest określony w zbiorze powstałym ze zbioru wszystkich liczb rzeczywistych przez usunięcie liczb mających postać.. liczbą całkowitą.. Cotangens jest określony w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych poza liczbami postaci.. jest liczbą całkowitą.. Tangens i secans mają asymptoty pionowe w punktach postaci.. , a cotangens i cosecans w punktach postaci.. Żadna z tych funkcji nie ma asymptot innego rodzaju.. Przeciwdziedzina.. Sinus i cosinus są.. ograniczone.. : przyjmują wartości z przedziału.. Tangens i cotangens przyjmują dowolne wartości rzeczywiste, a secans i cosecans wartości ze zbioru.. Ekstrema.. Maksymalną wartość, w obu przypadkach.. , sinus przyjmuje w punktach.. , a cosinus w punktach.. jest całkowita.. Minimalną wartość, dla obu funkcji.. Miejsca zerowe.. Miejscami zerowymi sinusa i tangensa są punkty postaci.. Miejscami zerowymi cosinusa i cotangensa są punkty postaci.. Parzystość i nieparzystość.. Funkcje sinus, tangens, cotangens, cosecans są nieparzyste, a funkcje cosinus i secans parzyste:.. Okresowość.. Funkcje trygonometryczne są funkcjami okresowymi.. Okresem podstawowym sinusa, cosinusa, secansa i cosecansa jest liczba.. a tangensa i cotangensa.. Ciągłość.. Funkcje sinus i cosinus są ciągłe i różniczkowalne w każdym punkcie prostej rzeczywistej.. Tangens, cotangens, secans i cosecans także są ciągłe i różniczkowalne w swoich dziedzinach (zob.. wyżej).. Odwracalność.. Żadna z nich nie jest.. różnowartościową.. , a zatem nie istnieją funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych w całej dziedzinie.. W pewnych.. przedziałach.. funkcje te są jednak różnowartościowe i można tam określić.. funkcje do nich odwrotne.. Własności algebraiczne.. Funkcje trygonometryczne zalicza się do.. funkcji elementarnych.. Nie są one jednak.. funkcjami algebraicznymi.. Liczby.. liczbami algebraicznymi.. dla dowolnych liczb postaci.. liczbą wymierną.. , będące.. wykresami funkcji.. sinus, cosinus, tangens, cotangens nazywa się odpowiednio:.. sinusoidą.. cosinusoidą.. (kosinusoidą),.. tangensoidą.. cotangensoidą.. (kotangensoidą).. Cosinusoida jest sinusoidą.. przesuniętą.. wektor.. Szare linie pionowe na dolnych wykresach to asymptoty.. Wykresy można powiększyć przez kliknięcie myszką.. Sinusoida.. : wykres funkcji.. Cosinusoida.. Tangensoida.. Cotangensoida.. Wykres funkcji secans.. Wykres funkcji cosecans.. Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 0°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90°.. radiany.. stopnie.. nieokreślony.. Wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych dla argumentów postaci.. dają się zapisać za pomocą skończonego wzoru z użyciem podstawowych.. działań arytmetycznych.. pierwiastka kwadratowego.. wtedy i tylko wtedy, gdy po skróceniu ułamka.. liczba.. jest iloczynem potęgi dwójki i różnych.. liczb pierwszych Fermata.. (jak dotąd znanych jest pięć takich liczb: 3,5,17,257,65537)..  ...   częstotliwości w pionie i w poziomie.. Funkcje trygonometryczne mają wiele zastosowań w najróżniejszych dziedzinach nauki i techniki, takich jak na przykład:.. akustyka.. : np.. analiza harmoniczna.. architektura.. mechanika.. : bezpośrednie zastosowanie do elementów trójkąta.. astronomia.. nawigacja.. kartografia.. oceanografia.. : trygonometria sferyczna stosowana do powierzchni Ziemi.. chemia.. krystalografia.. : obliczanie odległości pomiędzy atomami w krysztale,.. ekonomia.. (w szczególności analiza.. rynków finansowych.. ),.. probabilistyka.. meteorologia.. szeregów czasowych.. elektryka.. przebiegi sinusoidalne.. prądu zmiennego.. fizyka.. ruch harmoniczny.. prawo załamania światła.. tego artykułu,.. fonetyka.. analiza języka naturalnego.. głosek.. geodezja.. inżynieria lądowa.. : w szczególności.. niwelacja trygonometryczna.. geofizyka.. sejsmologia.. : badanie.. fal sejsmicznych.. grafika komputerowa.. symulowanie odbicia i załamania światła w.. ray tracingu.. kompresja obrazu.. przy kompresji.. JPEG.. kryptologia.. : w związku z.. zastosowaniami w teorii liczb.. obrazowanie medyczne.. tomografia komputerowa.. USG.. wymagają obliczeń trygonometrycznych.. optyka.. : prawo załamania światła,.. polaryzacja fali.. robotyka.. algorytm sterowania sinusoidalnego.. teoria chaosu.. [56].. teoria muzyki.. szereg harmoniczny.. Trygonometria.. Poloniści dopuszczają zarówno formy "cosinus, cotangens, cosecans, secans", jak i "kosinus, kotangens, kosekans, sekans".. Słowniki języka polskiego skłaniają się ku tym drugim jako bardziej naturalnym dla języka polskiego.. [57].. , jednak słowniki i encyklopedie matematyczne raczej nie używają form spolszczonych, podobnie w naukowej literaturze matematycznej są one rzadko spotykane.. Już pod koniec.. XVIII wieku.. Jan Śniadecki.. próbował wprowadzić całkowicie polskie odpowiedniki nazw i skrótów funkcji trygonometrycznych.. [58].. [59].. (w nawiasie proponowany skrót):.. sinus –.. wstawa.. wst.. cosinus –.. dostawa.. dost.. tangens –.. sty.. cotangens –.. dostyczna.. dosty.. secans –.. sie.. cosecans –.. dosieczna.. dosie.. Propagował je potem m.. Andrzej Radwański.. w dziele „Słownik wyrazów grecko-łacińskich w poznawaniu Rody używanych… bezpłatnie dodany do dzieła Treść nauki przyrodzenia” wydanym w 1850 roku.. [60].. Zwalczał tam wszelkie nazwy pochodzące z greki i łaciny.. W latach 1918-1924 polskie nazwy próbował forsować rektor.. Szkoły Politechnicznej we Lwowie.. , prof.. Maksymilian Thullie.. (1853-1939).. Stosował je w swoich pracach, np.. Statyka budowli.. (wyd.. IV, Lwów 1921), jednak nie przyjęły się.. [61].. W różnych krajach stosowane są różne skróty funkcji trygonometrycznych:.. kraje anglojęzyczne.. sin.. [62].. [63].. cos.. tan.. (czasem tg.. [64].. cot.. (czasem ctg.. , ctn.. [65].. Chiny.. [66].. /tg.. [67].. /ctg.. Finlandia.. [68].. kraje francuskojęzyczne.. [69].. [70].. [71].. /tang.. [72].. cotan.. /cotg.. /cot.. kraje hiszpańskojęzyczne.. sen.. [73].. [74].. [75].. /tag.. [76].. Holandia.. [77].. Indonezja.. [78].. Japonia.. [79].. Korea.. [80].. Litwa.. [81].. tg.. ctg.. kraje niemieckojęzyczne.. [82].. [83].. kraje portugalskojęzyczne.. [84].. /sin.. [85].. [86].. Rosja.. [87].. Turcja.. [88].. Ukraina.. [89].. Węgry.. [90].. Włochy.. [91].. [92].. Secans i cosecans są generalnie rzadko używane, lecz wszędzie stosuje się skróty sec i cosec/csc.. Jedynie we Francji często dodawany jest nad tymi skrótami akcent: séc/coséc.. sinus i cosinus całkowy.. funkcja sinc.. cosinusy kierunkowe.. sinusoida zagęszczona.. 1,0.. 1,1.. Bronsztejn, Siemiendiajew (w bibliografii), s.. 230.. 2,0.. 2,1.. 2,2.. 2,3.. 2,4.. W innych krajach bywają stosowane inne skróty – zobacz sekcja.. Mathworld – Versine.. [dostęp 10 stycznia 2009].. Mathworld – Haversine.. Mathworld – Coversine.. Mathworld – Exsecant.. 7,0.. 7,1.. D.. Zwillinger:.. (red.. ) Spherical Geometry and Trigonometry.. Boca Raton, FL: CRC Press, 1995, s.. 468-471, §6.. 4, seria: CRC Standard Mathematical Tables and Formulae.. Haversine formula.. w angielskiej wikipedii.. Roger W.. Sinnott.. Virtues of the Haversine.. „Sky and Telescope”.. 68 (2), s.. 159, 1984.. Chris Veness:.. Calculate distance and bearing between two Latitude/Longitude points using Haversine formula in JavaScript.. www.. movable-type.. co.. uk.. [dostęp 2013-10-13].. Słownik encyklopedyczny – matematyka (w bibliografii), s.. 90.. Reinhardt, Soeder (w bibliografii), ss.. 182-183.. 12,0.. 12,1.. Bronsztejn, Siemiendizjew, s.. 253.. David Bressoud, Joy Laine:.. Parallel Developments in Philosophy and Mathematics in India.. [dostęp 19 marca 2009].. w przypadku pierścieni nilpotentnych szereg Taylora ma tylko skończoną liczbę wyrazów różną od 0.. Bronsztejn, Siemiendiajew, ss.. 417-418.. Reinhardt, Soeder, s.. 294.. Mathworld - Secans - series representation.. Paweł Głowacki:.. Analiza B.. Wykład 3.. [dostęp 19 marca 2008].. twierdzenie 20.. 19,0.. 19,1.. 295.. 20,0.. 20,1.. Wolfram Mathworld – The best-known properties and formulas for trigonometric functions.. Stanisław Saks, Antoni Zygmund:.. Funkcje analityczne.. Warszawa-Lwów-Wilno: 1938, s.. 299, seria: Monografie Matematyczne tom 10.. Sine.. [dostęp 2 stycznia 2009].. Tangent.. Cotangent: continued fraction representation.. Wolfram Mathworld – Connections within the group of trigonometric functions and with other function groups.. 26,0.. 26,1.. Bronsztejn, Siemiendiajew, s.. 231.. Bronsztejn, Siemiendiejew, s.. 625.. 28,0.. 28,1.. 114-116.. Dave Rusin:.. algebraic numbers query.. [dostęp 12 kwietnia 2008].. 233.. Wolfram Mathworld – Sine: Specific values.. Wolfram Mathworld – Tangent: Specific values.. 232.. 34,0.. 34,1.. 34,2.. 34,3.. 34,4.. 234.. 235.. 36,0.. 36,1.. 236.. Słownik encyklopedyczny – matematyka, ss.. 93-94.. 397.. Tangent differentiation.. [dostęp 24 stycznia 2009].. Cotangent differentiation.. Secant differentiation.. Cosecant differentiation.. 426.. 438.. 117.. 237.. 297.. 48,0.. 48,1.. 48,2.. Bogdan Miś.. Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki.. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1989, s.. 164.. ISBN 83-204-0920-9.. 49,0.. 49,1.. Wolfram Mathworld – Introduction to the trigonometric functions.. 239.. 51,0.. 51,1.. 240.. 52,0.. 52,1.. 650.. Paul Du Bois-Reymond.. Versuch einer Classification der willk¨urlichen Functionen reeller Argumente nach ihren Aenderungen in den kleinsten Intervallen.. Reine Angew.. Math”, s.. 21–37, 1875.. Wolfram Mathworld – The Dirichlet function.. Mathworld - MoebiusMu[n.. - Series representations].. Mathworld – Logistic equation solution.. Hasło cosinus w słowniku języka polskiego PWN.. Jan Śniadecki:.. Trygonometrya kulista analitycznie wyłożona.. 1820.. Maksymilian Tytus Huber:.. Pisma.. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1957.. Mateusz Pasternak:.. Anegdoty matematyczne.. Roman Ciesielski, Katarzyna Tyńska:.. Nasza Politechnika: Izydor Stella-Sawicki.. 62,0.. 62,1.. 62,2.. 62,3.. Max Fogiel:.. Handbook of mathematical, scientific, and engineering formulas, tables, functions, graphs, transforms.. Research and Education Association, 1994, s.. 213.. ISBN 0-87891-521-4.. ISBN 978-0-87891-521-7.. [dostęp 22 marca 2009].. 63,0.. 63,1.. 63,2.. 63,3.. Anthony Nicolaides:.. Pure Mathematics.. Pass Publications, 2007, s.. 42.. ISBN 1-872684-87-4.. ISBN 978-1-872684-87-1.. 64,0.. 64,1.. Journal of engineering for industry.. American Society of Mechanical Engineers, 1969.. Felix Klein:.. Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Arithmetic, Algebra, Analysis.. Cosimo, Inc.. , 2007, s.. 180.. ISBN 1-60206-647-7.. ISBN 978-1-60206-647-2.. 66,0.. 66,1.. 66,2.. 66,3.. Zhi-shu He Tian:.. 數學定理、公式暨習題詳解.. 五南圖書出版股份有限公司, 2007, s.. 133.. ISBN 957-11-4564-5.. ISBN 978-957-11-4564-8.. chiń.. 67,0.. 67,1.. Ke xue shi ji kan.. Ke xue chu ban she.. [dostęp 23 marca 2009].. 68,0.. 68,1.. 68,2.. 68,3.. Weikko Aleksanteri Heiskanen, Seppo Härmälä:.. Maastomittaus ja kartoitus.. Söderström, 1972.. fiń.. 69,0.. 69,1.. 69,2.. 69,3.. 69,4.. Jean Baptiste, Joseph Delambre:.. Histoire de l'astronomie du moyen âge.. V.. Courcier, 1819, s.. 462.. fr.. 70,0.. 70,1.. 70,2.. 70,3.. 70,4.. Pascal Dupont:.. Exercices de mathématiques: Volume 1, Algèbre et géométrie.. De Boeck Université, 2005, s.. 98.. ISBN 2-8041-4312-0.. ISBN 978-2-8041-4312-1.. 71,0.. 71,1.. Gilles Desbiens:.. Trigonométrie du triangle rectangle.. 72,0.. 72,1.. André Caillemer, Catherine Le Cocq:.. Astronomie de position, géodésie.. Editions TECHNIP, 1998, s.. 187.. ISBN 2-7108-0439-5.. ISBN 978-2-7108-0439-0.. 73,0.. 73,1.. 73,2.. 73,3.. Arenas Solá:.. Matemáticas: fichas de la asignatura.. Edicions Universitat Barcelona, s.. 24.. ISBN 84-475-3206-2.. ISBN 978-84-475-3206-3.. hiszp.. 74,0.. 74,1.. 74,2.. 74,3.. James Stewart, Lothar Redlin, Saleem Watson, Héctor Vidaurri, Alejandro Alfaro, María Bruna, Josefina Anzures, Francisco Sánchez Fragoso:.. Precálculo: Matemáticas para el cálculo.. Cengage Learning Editores, 2007, s.. 411.. ISBN 970-686-638-8.. ISBN 978-970-686-638-7.. 75,0.. 75,1.. Lira Contreras, Ana Rosa:.. Geometria y Trigonometria.. Ediciones Umbral, s.. ISBN 970-9758-34-9.. ISBN 978-970-9758-34-4.. 76,0.. 76,1.. Salvador Guillén Vázquez:.. Manual de matemáticas para acceso a la Universidad.. Editorial Ramón Areces, 1991, s.. 442.. ISBN 84-8004-006-8.. ISBN 978-84-8004-006-8.. 77,0.. 77,1.. 77,2.. 77,3.. Jean-Pierre Daems, Edward Jennekens, Valentijn Van Hooteghem:.. Argument 4-5 - Goniometrie - Driehoeksmeting.. Uitgeverij De Boeck, 2004, s.. 211.. ISBN 90-455-0674-2.. ISBN 978-90-455-0674-6.. 78,0.. 78,1.. 78,2.. 78,3.. Sulistiyono, Sri Kurnianingsih, Kuntarti:.. Matematika Sma Dan Ma untuk Kelas XI Semester 1.. Jakarta: ESIS, s.. 172.. ISBN 979-734-502-5.. ISBN 978-979-734-502-0.. indonez.. 79,0.. 79,1.. 79,2.. 79,3.. 信州大学.. 工学部:.. 信州大学工学部紀要.. 信州大学工学部, 1981.. jap.. 80,0.. 80,1.. 80,2.. 80,3.. Yong-un Kim:.. Tongyang ŭi kwahak kwa sasang: Hanʼguk kwahak ŭi kanŭngsŏng ŭl chʻajasŏ.. Ilchisa, 1984.. kor.. 81,0.. 81,1.. 81,2.. 81,3.. Litovskiĭ fizicheskiĭ sbornik.. Gos.. izd-vo polit.. i nauch.. lit-ry, 1984.. lit.. 82,0.. 82,1.. 82,2.. 82,3.. Johann Mutschmann, Fritz Stimmelmayr, Werner Knaus:.. Taschenbuch der Wasserversorgung.. Vieweg+Teubner Verlag, 2007, s.. 873.. ISBN 3-8348-0012-0.. ISBN 978-3-8348-0012-1.. niem.. 83,0.. 83,1.. Hans Geiger, Karl Scheel:.. Handbuch der Physik.. Julius Springer, 1928.. 84,0.. 84,1.. 84,2.. Memórias da Academia das ciências de Lisboa, classe de ciências.. Lisbona: 1967.. port.. 85,0.. 85,1.. 85,2.. 85,3.. Dubbel Manual Da Construcao de Maquinas.. Hemus, s.. ISBN 85-289-0270-6.. ISBN 978-85-289-0270-9.. 86,0.. 86,1.. Antônio Gonçalves, Moreira Couto:.. Geometria descritiva e insolação.. 1961.. 87,0.. 87,1.. 87,2.. 87,3.. Тесты и экзаменационные задания по математике за курс средней школы (ЕГЭ): Учебное пособие.. Издательский дом "Питер", s.. 160.. ISBN 5-469-00278-0.. ISBN 978-5-469-00278-9.. ros.. 88,0.. 88,1.. 88,2.. 88,3.. Orta Doğu:.. Isi transferí.. tur.. 89,0.. 89,1.. 89,2.. 89,3.. Mykola Platonovych Bahan:.. Ukraïnsʹka radi a nsʹka entsyklopedii a.. Akademii a nauk Ukr.. Radi ansʹkoï Sot sialistichnoï Respubliky, 1959.. ukr.. 90,0.. 90,1.. 90,2.. 90,3.. A Magyar Tudományos Akadémia Matematikai és Fizikai Tudományok Ostályának kózleményei.. 1974.. węg.. 91,0.. 91,1.. 91,2.. 91,3.. Pierangelo Andreini:.. Manuale dell'ingegnere meccanico.. Hoepli Editore, 2002, s.. 16.. ISBN 88-203-3380-5.. ISBN 978-88-203-3380-5.. wł.. 92,0.. 92,1.. 92,2.. 92,3.. James Stewart:.. Calcolo.. Funzioni di una variabile.. Apogeo Editore, 2001, s.. 222.. ISBN 88-7303-747-X.. ISBN 978-88-7303-747-7.. Lidia Filist, Artur Malina, Alicja Solecka:.. Słownik encyklopedyczny – matematyka.. Wydawnictwo Europa, 1998.. ISBN 83-85336-06-0.. Funkcje zespolone.. Franciszek Leja:.. Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych.. III.. Warszawa: PWN, 1954.. Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder:.. Atlas matematyki.. Warszawa: Prószyński i S-ka.. ISBN 83-7469-189-1.. php?title=Funkcje_trygonometryczne oldid=40301605.. Cymraeg.. Scots.. Тоҷикӣ.. 吴语.. Tę stronę ostatnio zmodyfikowano o 15:17, 1 wrz 2014..

    Original link path: /wiki/Funkcje_trygonometryczne
    Open archive

  • Title: Kryptologia – Wikipedia, wolna encyklopedia
    Descriptive info: Kryptologia.. Niemiecka.. maszyna szyfrująca Lorenza.. , wykorzystywana podczas.. II wojny światowej.. do szyfrowania wiadomości sztabowych wysokiego szczebla.. (z.. gr.. κρυπτός –.. kryptos.. – "ukryty" i λόγος –.. logos.. – "słowo") – dziedzina wiedzy o przekazywaniu informacji w sposób zabezpieczony przed niepowołanym dostępem.. Współcześnie kryptologia jest uznawana za gałąź zarówno.. , jak i.. informatyki.. ; ponadto jest blisko związana z.. teorią informacji.. inżynierią.. bezpieczeństwem komputerowym.. Kryptologię dzieli się na.. kryptografię.. (z gr.. κρυπτός oraz γράφω.. gráfo.. "pisać"), czyli gałąź wiedzy o utajnianiu wiadomości, i.. kryptoanalizę.. (gr.. kryptós oraz analýein – rozluźnić), czyli gałąź wiedzy o przełamywaniu zabezpieczeń oraz o deszyfrowaniu wiadomości przy braku klucza lub innego wymaganego elementu schematu szyfrowania (szyfru).. Kryptologia ma szerokie zastosowanie w społeczeństwach rozwiniętych technicznie; wykorzystuje się ją np.. w rozwiązaniach zapewniających bezpieczeństwo.. kart bankomatowych.. haseł komputerowych.. handlu elektronicznego.. Jednak za najważniejsze zastosowania kryptologii uznaje się utajnianie informacji w wojskowości i dyplomacji.. W tych zastosowaniach używa się najbardziej zaawansowanych funkcji i protokołów kryptograficznych.. Zasadą ich implementacji są specjalnie opracowane, unikatowe urządzenia kryptograficzne, które wraz z funkcjami i protokołami poddawane są procedurze certyfikacji przez właściwe instytucje, odpowiedzialne za bezpieczeństwo teleinformacyjne danego państwa (w Polsce - Agencję Bezpieczeństwa Wewnętrznego.. i Służbę Kontrwywiadu Wojskowego.. Terminologia.. Kryptologia i kryptografia.. Historia kryptografii i kryptoanalizy.. Współczesna kryptologia.. Kryptografia symetryczna.. Kryptografia asymetryczna.. Kryptoanaliza.. Algorytmiczne podstawy kryptografii.. Protokoły kryptograficzne.. Uregulowania prawne dotyczące kryptografii.. Zakazy.. Ograniczenia eksportu.. Rola NSA.. Digital Rights Management.. Dalsza lektura.. Istotnym elementem technik kryptograficznych jest proces zamiany.. tekstu jawnego.. szyfrogram.. (inaczej.. kryptogram.. ); proces ten nazywany jest.. szyfrowaniem.. , a proces odwrotny, czyli zamiany tekstu zaszyfrowanego na powrót w możliwy do odczytania,.. deszyfrowaniem.. Przez.. szyfr.. rozumiana jest para.. algorytmów.. służących do przeprowadzenia obu procesów.. Wraz z algorytmami dodatkowo używa się.. kluczy.. , czyli pewnych.. niezbędnych.. parametrów, od których zależy wynik obu procesów.. Innymi słowy: znajomość algorytmu i szyfrogramu bez dostępu do klucza nie pozwoli na odtworzenie tekstu jawnego.. Kryptografia nie zajmuje się jednak wyłącznie szyfrowaniem i deszyfrowaniem tekstów.. Po pierwsze, dane przekazywane są najczęściej w postaci binarnej, co umożliwia również obróbkę takich danych jak dźwięk czy obraz; po drugie, równie ważne jak zapewnianie poufności danych jest ich.. integralność.. (niezmienność danych w czasie procesu),.. uwierzytelnianie.. (pewność co do ich pochodzenia) oraz.. niezaprzeczalność.. (nadawca nie może wyprzeć się faktu, że był nadawcą wiadomości).. Ponadto kryptografia zajmuje się takimi zagadnieniami, jak:.. podpis cyfrowy.. głosowanie elektroniczne.. e-voting.. dowód z wiedzą zerową.. współdzielenie tajemnic.. obliczenia wielopodmiotowe.. i inne.. Ważnym terminem używanym w kryptografii jest.. kryptosystem.. , a więc system obejmujący zastosowane w danym wypadku szyfry, metody generowania kluczy, urządzenia wraz z.. oprogramowaniem.. oraz procedury ich użycia.. Istotnym aspektem kryptosystemu jest jego bezpieczeństwo – odporność na.. ataki kryptologiczne.. języku potocznym.. termin.. kodowanie.. używany jest dla nazywania wszelkich metod szyfrowania lub ukrywania znaczenia.. W kryptografii jednak.. ma nieco inne znaczenie.. Podstawowa różnica polega na zastosowaniu odmiennych narzędzi podczas zamiany tekstu otwartego na utajniony przy pomocy obu tych sposobów działania; o ile w procesie szyfrowania istotnym jego elementem jest.. klucz.. , to kodowanie obywa się bez tego składnika systemu – odbywa się ono przy pomocy.. książki kodowej.. – rodzaju słownika wiążącego słowa i wyrażenia języka tekstu jawnego z odpowiadającymi im "słowami" kodu.. Następuje zamiana jednostek tekstu jawnego (tzn.. znaczących słów lub zdań) na słowa kodowe (np.. Atak o świcie.. zostaje zastąpiony słowem.. Szarlotka.. Z kodów tego typu w obecnej kryptografii się nie korzysta, z wyjątkiem ich zastosowania jako kryptonimów operacji wojskowych (np.. Operacja Overlord.. Akcja Burza.. ), ze względu na fakt, że dobrze dobrany szyfr jest zarówno praktyczniejszy, jak i bardziej bezpieczny niż jakikolwiek kod.. Ponadto szyfry są lepiej dopasowane do wykorzystania za pomocą sprzętu komputerowego.. W sensie ścisłym określenia.. kryptografia.. , jako opisujące pewne dziedziny nauki, mają znaczenie podane we wstępie; kryptografia jest pojęciem węższym.. Jednak w praktycznym stosowaniu technik kryptologicznych zwykle używane jest słowo.. Dla przykładu: mówi się o protokołach, systemach, technikach czy zabezpieczeniach.. kryptograficznych.. (nie kryptologicznych).. Można więc mówić o drugim znaczeniu słowa.. , którym jest praktyczne wykorzystanie technik z dziedziny nauki –.. kryptologii.. Starożytne greckie.. skytale.. , bardzo podobnie do tej rekonstrukcji mogły wyglądać najwcześniejsze urządzenia szyfrujące.. Do czasów nowożytnych kryptografia była związana wyłącznie z tajnością przekazywanych informacji (tzn.. z ich szyfrowaniem) – przekształcaniem wiadomości z formy zrozumiałej w niezrozumiałą i z powrotem – w celu wykluczenia jej odczytania przez osoby nie mające klucza do odszyfrowania, a które mogłyby tę wiadomość przechwycić lub podsłuchać.. Najwcześniejsze formy utajniania pisemnych wiadomości – z uwagi na fakt, że większość ludzi i tak nie umiała czytać – wymagały niewiele więcej niż ówczesnego odpowiednika pióra i papieru.. Zwiększenie się umiejętności czytania i pisania, szczególnie u przeciwnika, przyczyniło się do powstania rzeczywistej kryptografii.. Szyfry antyczne dzieli się na dwie główne grupy:.. szyfry przestawieniowe.. , za pomocą których zmieniano kolejność liter w wiadomości (przykład najprostszego przestawienia – "pomóż mi" staje się "opómż im") oraz.. szyfry podstawieniowe.. , które polegały na zastępowaniu pojedynczych liter lub ich grup, odpowiednio: innymi literami lub ich grupami (np.. "natychmiastowy wylot" staje się "obuzdinjvbtupxz xzmpu" w najprostszym podstawieniu za daną literę – następnej litery alfabetu łacińskiego).. W prostych wersjach obydwa szyfry oferują niewielki stopień utajnienia przed przeciwnikiem.. Jednym z najwcześniejszych szyfrów podstawieniowych był.. szyfr Cezara.. , w którym każda litera tekstu jawnego zastępowana była literą oddaloną o pewną ustaloną liczbę pozycji w alfabecie.. Szyfr ten został nazwany na cześć.. Juliusza Cezara.. , który używał go (z przesunięciem o 3) do komunikacji podczas kampanii wojskowych; jest on podobny do kodu.. Excess-3.. Algebrze Boole'a.. Szyfrowanie miało za zadanie zapewnić.. tajność.. w komunikacji na przykład pomiędzy.. szpiegami.. , dowódcami wojskowymi,.. dyplomatami.. ; miało też zastosowanie wśród wyznawców religii – wcześni chrześcijanie wykorzystywali kryptografię do ukrycia niektórych aspektów ich pism religijnych w celu uniknięcia oskarżeń, które – gdyby nie zachowali ostrożności – z pewnością by się pojawiły.. Sławna.. liczba 666.. (lub w niektórych wczesnych pismach – 616), czyli.. liczba Bestii.. Apokalipsy św.. Jana.. , księgi.. chrześcijańskiego.. Nowego Testamentu.. , uważana jest czasem za zaszyfrowane odniesienie do rzymskiego cesarza.. Nerona.. , który prowadził politykę prześladowania chrześcijan.. Istnieją również zapisy kilku innych, wcześniejszych szyfrów hebrajskich.. Stosowanie kryptografii zalecała też.. Kamasutra.. kochankom chcącym się komunikować bez ryzyka wykrycia.. Steganografia.. , wynaleziona również w starożytności, była rodzajem szyfrowania polegającym na ukryciu – w celu zachowania tajności – samego faktu istnienia przekazu.. Wczesnego przykładu dostarcza.. Herodot.. , który opisał z własnego doświadczenia ukrycie wiadomości – tatuażu na ogolonej głowie niewolnika – pod nowo wyrosłymi włosami.. Wśród bliższych współczesności przykładów steganografii są takie techniki jak.. atramenty sympatyczne.. mikrokropki.. cyfrowe znaki wodne.. Szyfrogram.. wygenerowany przy użyciu klasycznego szyfru (i niektórych rodzajów szyfrów nowoczesnych) zawsze niesie ze sobą pewne statystyczne informacje związane z wyjściowym tekstem jawnym, które mogą posłużyć do złamania szyfru.. Po odkryciu metod.. kryptoanalizy statystycznej.. przez arabskiego uczonego.. Al-Kindiego.. w IX wieku n.. stało się możliwe, z mniejszymi lub większymi trudnościami, złamanie prawie każdego z takich szyfrów przez kogoś, kto ma odpowiednią wiedzę właśnie w dziedzinie odkrytej przez Al-Kindiego.. Sytuacja bezbronności szyfrów wobec kryptoanalizy panowała do momentu opracowania przez.. Leona Battistę Albertiego.. szyfrów polialfabetycznych.. około roku 1467 (choć istnieją też przypuszczenia, że wcześniej odkryli je Arabowie).. Jego pomysł polegał na użyciu różnych szyfrów (np.. szyfrów podstawieniowych.. ) dla różnych części wiadomości – często innego szyfru dla każdej z osobna litery tekstu jawnego.. Od niego wyszła też konstrukcja urządzenia będącego prawdopodobnie pierwszą maszyną do szyfrowania; było to koło, które po części realizowało jego pomysł szyfrowania.. W XIX-wiecznym polialfabetycznym.. szyfrze Vigenère'a.. do zaszyfrowania wiadomości używa się.. klucza.. , który określa w jaki sposób ma być szyfrowany kolejny znak.. W połowie XIX wieku.. Charles Babbage.. pokazał, że szyfry polialfabetyczne tego typu są partiami podatne na kryptoanalizę statystyczną.. Enigma.. – używana w kilku wersjach w niemieckiej armii od końca lat 20.. XX w.. do zakończenia.. – miała wbudowany, dla ochrony poufnej korespondencji, skomplikowany elektromechaniczny system szyfrowania polialfabetycznego.. Złamanie szyfru Enigmy w polskim.. Biurze Szyfrów.. i idące za tym deszyfrowanie na wielką skalę w.. Bletchley Park.. korespondencji prowadzonej za pomocą tych maszyn było ważnym czynnikiem w ostatecznym zwycięstwie aliantów w II wojnie światowej.. Chociaż kryptoanaliza statystyczna jest techniką potężną i uniwersalną, wielu rzekomych kryptoanalityków nie było świadomych jej istnienia – kodowanie było w praktyce często nadal skuteczne.. Złamanie jakiejś wiadomości bez analizy statystycznej wymagało przede wszystkim znajomości samego sposobu użytego do zaszyfrowania, stąd – dla jego zdobycia – popierano w stosunku do strony przeciwnej takie metody jak szpiegostwo, przekupstwo, dokonywanie włamań, nakłanianie do zdrady itp.. Ostatecznie w XIX wieku uznano, że ochrona tajemnicy algorytmu szyfrowania nie jest rozsądna ani praktyczna; odpowiedni schemat krypograficzny (w tym szyfr) powinien pozostać bezpieczny nawet wtedy, gdy przeciwnik zna algorytm szyfrowania.. Tajemnica klucza sama w sobie powinna wystarczyć do dobrego zaszyfrowania i przekazania – w razie ataku – poufnej informacji.. Inaczej mówiąc:.. powinien być bezpieczny nawet w przypadku, gdy jego całość – z wyjątkiem klucza – jest publicznie znana.. Ta fundamentalna zasada została po raz pierwszy wyrażona wprost w 1883 roku przez.. Augusta Kerckhoffsa.. i jest na ogół nazywana.. zasadą jego imienia.. Bardziej otwarcie, choć w nieco innej formie, wyraził ją (prawdopodobnie niezależnie od Kerckhoffsa).. Claude Shannon.. : "nasz wróg zna nasz system" (.. maksyma Shannona.. Dla ułatwienia szyfrowania wykorzystywano w ciągu wieków różnego rodzaju urządzenia i pomoce.. Prawdopodobnie do najwcześniej używanych – w.. starożytnej Grecji.. – należały.. (patrz zdjęcie), stosowane ponoć przez Spartan jako pomoc przy szyfrowaniu przestawieniowym.. W średniowieczu wynaleziono inne pomoce, np.. matrycę szyfrującą (ang.. cipher grille) – używaną do kodowania będącego rodzajem steganografii.. Wraz z wynalezieniem szyfrowania polialfabetycznego pojawiły się bardziej zaawansowane pomoce, takie jak: tarcza szyfrująca samego Albertiego, schemat.. tabula recta.. Johannesa Trithemiusa.. walec szyfrujący.. Thomasa Jeffersona.. (wynaleziony ponownie przez.. Bazeriesa.. około roku 1900).. W początkach XX wieku wynaleziono kilkanaście mechanicznych urządzeń szyfrująco-deszyfrujących (i wiele opatentowano).. Były wśród nich wirnikowe maszyny szyfrujące, z najsłynniejszą Enigmą używaną przez Niemcy podczas II wojny światowej.. Szyfrowanie zastosowane dzięki tym lepszej jakości modelom spowodowało znaczny wzrost trudności analiz kryptoanalitycznych po I wojnie światowej.. Odkrycia, jakie miały miejsce po.. II wojnie światowej.. w zakresie.. elektroniki.. i wynalezienie cyfrowych maszyn liczących, umożliwiły wykorzystanie szyfrów bardziej skomplikowanych.. Ponadto, w przeciwieństwie do klasycznych szyfrów (za pomocą których szyfrowano jedynie tekst pisany w języku naturalnym, co w wielu wypadkach pozwalało stosować cechy szyfrowanego języka do kryptoanalizy), użycie komputerów umożliwiło szyfrowanie wszelkich danych wyrażonych w postaci binarnej.. Wiele szyfrów komputerowych można opisać poprzez operacje na sekwencjach.. bitów.. (czasem ich grupach lub blokach), w przeciwieństwie do metod klasycznych i mechanicznych, które na ogół operują bezpośrednio na tradycyjnych znakach (np.. literach i cyfrach).. Komputery okazały się także pomocne w kryptoanalizie, co do pewnego stopnia zrekompensowało zwiększenie skomplikowania szyfrów – tylko do pewnego stopnia, jako że dobre nowoczesne algorytmy szyfrujące zdecydowanie wyprzedzają kryptoanalizę; normalna jest sytuacja, w której użycie skutecznego szyfru jest wydajne (np.. szybkie i wymagające niewielkich zasobów), podczas gdy próba złamania tego szyfru wymaga nakładów o wiele rzędów większych – czyni to kryptoanalizę tak nieefektywną i niepraktyczną, że w takich wypadkach faktycznie niemożliwą.. Otwarte rozległe badania akademickie mają miejsce w dziedzinie kryptografii od stosunkowo niedawna; rozpoczęły się w połowie lat 70.. XX wieku wraz z publikacją przez ówczesny NBS (odpowiednik dzisiejszego.. NIST.. ) specyfikacji algorytmu.. DES.. Data Encryption Standard.. ), a także ukazaniem się pracy.. Diffiego-Hellmana.. oraz publicznym przedstawieniem algorytmu.. RSA.. Od tego czasu kryptografia stała się narzędziem powszechnie używanym w komunikacji, sieciach komputerowych i ogólnie – bezpieczeństwie komputerowym.. Poziom bezpieczeństwa wielu współczesnych technik kryptograficznych bazuje na złożoności obliczeniowej niektórych działań matematycznych, jak.. rozkład na czynniki.. logarytm dyskretny.. W wielu przypadkach istnieją dowody, że dane techniki kryptograficzne są bezpieczne,.. jeśli.. pewien problem obliczeniowy nie ma efektywnego rozwiązania.. one-time pad.. dowody te są warunkowe, a przez to nieostateczne, ale w obecnym stanie wiedzy są dowodami najlepszymi dostępnymi dla algorytmów i protokołów kryptograficznych.. Twórcy algorytmów i systemów kryptograficznych nie dość, że powinni znać dotychczasowe osiągnięcia i historię kryptografii, to w swoich projektach muszą również brać pod uwagę możliwy przyszły rozwój wypadków.. Przykładowo – ciągły wzrost mocy obliczeniowej komputerów zwiększa długość.. , przy której atak typu.. brute-force.. może się powieść.. Przedmiotem troski niektórych kryptografów są ewentualne efekty potencjalnego rozwoju obliczeń przy pomocy.. komputerów kwantowych.. , a zapowiedzi dotyczące nieuchronnego wdrożenia w niewielkim stopniu urządzeń tego typu czynią te głosy wyraźnie słyszalnymi.. W zasadzie do wczesnych lat XX wieku kryptografia skupiała się na wzorcach językowych.. Od tego czasu główny nacisk w kryptografii przeniósł się w kierunku nauk ścisłych – kryptografowie korzystają obecnie w dużym stopniu z matematyki, w tym różnych aspektów.. teorii informacji.. teorii złożoności obliczeniowej.. statystyki.. kombinatoryki.. algebry abstrakcyjnej.. Kryptografia jest także dziedziną inżynierii, ale dość nietypową, gdyż musi zmagać się z czynnym inteligentnym wrogim oporem (zob.. bezpieczeństwo teleinformatyczne.. ); większość innych rodzajów inżynierii ma do czynienia jedynie z neutralnymi siłami natury.. Prowadzone są również badania mające na celu rozwiązanie problemów kryptograficznych z wykorzystaniem fizyki kwantowej (zob.. komputer kwantowy.. kryptografia kwantowa.. Na marginesie można dodać, że klasyczne szyfry wciąż są popularne, chyba najbardziej w dziedzinie rozrywek umysłowych (zob.. puzzle.. Współcześnie wyróżnia się dwa główne nurty kryptografii: kryptografię symetryczną i asymetryczną.. Algorytm symetryczny.. Termin.. kryptografia symetryczna.. odnosi się do metod, w których nadawca i odbiorca wiadomości używają tego samego klucza (rzadziej:.. różnych.. kluczy, ale łatwych do wyliczenia jeden na podstawie drugiego).. Inne metody – z dwoma różnymi kluczami (tu również można obliczyć jeden na podstawie drugiego, jest to jednak bardzo trudne, a praktycznie niemożliwe) – zostały odkryte dopiero w latach 70.. XX wieku.. (więcej w sekcji "Kryptografia asymetryczna").. Jedna runda (spośród ośmiu i pół).. opatentowanego.. (w USA) szyfru blokowego.. IDEA.. , używanego w niektórych wersjach.. PGP.. do szybkiego szyfrowania danych, na przykład wiadomości.. poczty elektronicznej.. W czasach współczesnych nauka o szyfrach symetrycznych koncentruje się na szyfrach.. blokowych.. strumieniowych.. i ich zastosowaniach.. Szyfr blokowy można uważać za nowoczesną wersję.. szyfru polialfabetycznego.. Albertiego.. Służy on (szyfr blokowy) do przekształcenia – przy pomocy klucza – bloku tekstu jawnego w szyfrogram o tej samej długości.. Tekst jawny jest zwykle dłuższy niż jeden blok, potrzebne są więc sposoby dzielenia tekstu na pojedyncze bloki i dalszego z nimi postępowania.. Metody te są rozmaite – zapewniają różne poziomy zabezpieczenia kryptosystemu z różnych punktów widzenia użytkownika systemu – nazywa się je.. trybami kodowania szyfrów blokowych.. CBC.. CFB.. CTR.. ECB.. OFB.. Szyfry.. ) oraz.. AES.. Advanced Encryption Standard.. ) są szyframi blokowymi, uznanymi za standardy kryptograficzne przez rząd USA (ostatecznie desygnacja szyfru DES została cofnięta).. Mimo że  ...   – w tym stosunkowo prostych, takich jak:.. dowód interaktywny.. – aż do dużo bardziej skomplikowanych, np.. pieniądz elektroniczny.. i bezpieczne.. Jeśli zabezpieczenia dobrego systemu kryptograficznego zawodzą, rzadko okazuje się, że przyczyną była jakość zastosowanego algorytmu.. Najczęściej wykorzystywanymi słabościami okazują się: błędy w projektowaniu protokołu (często spowodowane niewystarczającym wyszkoleniem twórców lub stosowaniem nieodpowiednich procedur),.. błędy w implementacji.. , błędy związane z przyjęciem mylnych założeń (na przykład o dobrym wyszkoleniu obsługi) lub inne, popełnione przez człowieka.. Wiele protokołów kryptograficznych było projektowanych i analizowanych metodami.. ad hoc.. ; rzadko mają one dowody bezpieczeństwa.. Metody formalnego analizowania bezpieczeństwa protokołów bazujące na.. logice matematycznej.. logika BAN.. ), a ostatnio również innym podejściu nazywanym.. concrete security.. , są przedmiotem badań naukowych od kilku ostatnich dziesięcioleci.. Niestety, otrzymane w ich wyniku narzędzia są niepraktyczne i nie znalazły szerokiego zastosowania w skomplikowanych przypadkach.. Nauka o sposobach zastosowania kryptografii w praktyce jest odrębną dyscypliną wiedzy; zob.. cryptographic engineering.. inżynieria zabezpieczeń.. Kryptografia od dawna pozostawała w kręgu zainteresowań służb wywiadowczych i policyjnych.. Ze względu na fakt, że jest ona pomocna w utrzymywaniu.. prywatności.. , a ewentualne prawne jej ograniczenia wiążą się z umniejszeniem możliwości zachowania prywatności, kryptografia przyciąga też uwagę obrońców praw człowieka.. W związku z powyższym, można znaleźć we współczesnej historii kontrowersyjne przepisy prawne dotyczące kryptografii, szczególnie od momentu pojawienia się niedrogich komputerów, dzięki którym dostęp do kryptografii na zaawansowanym poziomie stał się powszechny.. W niektórych państwach nawet wewnątrzkrajowe użycie technik kryptograficznych podlega ograniczeniom.. We.. Francji.. było ono w znacznym stopniu ograniczone do 1999 roku; w.. Chinach.. w dalszym ciągu wymagana jest licencja.. Wśród krajów z najbardziej restrykcyjnymi uregulowaniami są:.. Białoruś.. Kazachstan.. Mongolia.. Pakistan.. Singapur.. Tunezja.. Wenezuela.. Wietnam.. W Stanach Zjednoczonych kryptografia w zastosowaniach wewnętrznych jest legalna, ale wokół uregulowań prawnych wiążących się z kryptografią było wiele konfliktów.. Jedną ze szczególnie istotnych kwestii był eksport kryptografii, oprogramowania i urządzeń kryptograficznych.. Ze względu na znaczenie kryptoanalizy podczas II wojny światowej i prognoz, że kryptografia pozostanie istotna dla bezpieczeństwa narodowego, wiele państw zachodnich w pewnym momencie ustanowiło rygorystyczne rozwiązania prawne związane z eksportem technologii kryptograficznych.. W Stanach Zjednoczonych po II wojnie światowej za nielegalne uznawane były sprzedaż lub rozpowszechnianie technologii szyfrujących poza granice państwa; szyfrowanie było traktowane jako uzbrojenie, tak jak czołgi czy broń jądrowa.. Przed nastaniem ery komputerów osobistych i.. Internetu.. było to rozwiązanie zupełnie nieproblematyczne; dla większości użytkowników różnica między dobrą i złą kryptografią jest niedostrzegalna, a w owym czasie dodatkowo zdecydowana większość ogólnie dostępnych technik kryptograficznych była powolna i podatna na błędy.. Jednakże wraz z rozbudową sieci Internet i upowszechnieniem komputerów, techniki szyfrujące wysokiej jakości stały się dobrze znane na całym świecie.. W rezultacie postępu technologicznego, kontrola eksportu zaczęła być postrzegana jako bariera dla handlu i nauki.. W latach 90.. XX wieku w USA doszło do kilku prób sił odnośnie regulacji prawnych dotyczących kryptografii.. Jedna z nich miała miejsce w związku z programem kodującym.. (Pretty Good Privacy).. Philipa Zimmermanna.. Program ten, razem z.. kodem źródłowym.. , został wydany w USA i w czerwcu 1991 roku trafił do Internetu.. Wskutek skargi złożonej przez RSA Security (występujące wówczas pod nazwą.. RSA Data Security Inc.. RSADSI.. ), w sprawie Zimmermanna toczyło się kilkuletnie dochodzenie służb celnych i.. FBI.. ; nie wniesiono jednak żadnego oskarżenia.. Podobnie.. Daniel J.. Bernstein.. , wówczas student.. uniwersytetu w Berkeley.. , na podstawie prawa do wolności wypowiedzi, wytoczył sprawę amerykańskiemu rządowi, podważając kilka przepisów w ograniczeniach w stosowaniu kryptografii; sprawa sądowa z 1995 roku – Bernstein przeciwko USA – zakończyła się w roku 1999 orzeczeniem sądu stwierdzającym, że wydrukowanie kodu źródłowego algorytmów i systemów kryptograficznych jest chronione prawem do wolności słowa zawartym w konstytucji USA.. W 1996 roku trzydzieści dziewięć krajów, w tym Polska, podpisało.. porozumienie Wassenaar.. The Wassenaar Arrangement on Export Controls for Conventional Arms and Dual-Use Goods and Technologies.. ) – traktat o eksporcie uzbrojenia i technologii podwójnego zastosowania (czyli technologii mogących mieć zastosowanie cywilne i wojskowe), w tym kryptografii.. Uzgodniono, że technologie szyfrowania oparte na krótkich kluczach (56-bitowych dla szyfrów symetrycznych i 512-bitowych dla RSA) nie podlegają ograniczeniom eksportowym.. Eksport kryptografii ze Stanów Zjednoczonych, w konsekwencji znacznego złagodzenia prawa w roku 2000, jest obecnie znacznie mniej restrykcyjnie regulowany niż w przeszłości.. ; nie ma już wielu obostrzeń w zakresie długości kluczy stosowanych w popularnym oprogramowaniu importowanym z USA.. Dzięki temu, a także w konsekwencji faktu, iż prawie wszystkie komputery osobiste podłączone do Internetu, na całym świecie, zawierają oparte na amerykańskich kodach źródłowych przeglądarki jak.. Mozilla Firefox.. Microsoft Internet Explorer.. , prawie każdy użytkownik Internetu ma dostęp do wysokiej jakości kryptografii w swojej przeglądarce, np.. w postaci dostatecznie długich kluczy, obrony się przed.. złośliwym oprogramowaniem.. , zastosowania bezpiecznych protokołów; przykładami mogą być protokoły.. Transport Layer Security.. SSL.. Podobnie klienty e-mail, jak.. Mozilla Thunderbird.. Microsoft Outlook.. , mogą łączyć się z serwerami poczty.. IMAP.. POP.. poprzez TLS, a także wysyłać i przyjmować e-maile zaszyfrowane z użyciem.. S/MIME.. Wielu użytkowników Internetu nie wie nawet, że ich podstawowe programy zawierają tak zaawansowane kryptosystemy.. Wymienione przeglądarki i.. programy pocztowe.. są tak wszechobecne, że nawet władza, która zmierzałaby do regulacji osobistego używania kryptografii, raczej nie uzna tego za praktyczne, a nawet gdyby takie prawo miało obowiązywać, jego skuteczna egzekucja byłaby często niemożliwa.. Innym kontrowersyjnym zagadnieniem związanym z kryptografią w Stanach Zjednoczonych jest wpływ NSA (.. National Security Agency.. ) – amerykańskiej Agencji Bezpieczeństwa Narodowego na zasady szyfrowania i jego rozwój.. NSA była zaangażowana w rozwój szyfru.. podczas jego konstruowania w IBM i rozważania przez NBS jako możliwy rządowy standard w kryptografii.. DES został tak zaprojektowany, aby oprzeć się.. kryptoanalizie różnicowej.. , skutecznej ogólnej technice kryptoanalitycznej znanej agencji NSA i firmie IBM, a która została przedstawiona do wiadomości publicznej dopiero wtedy, gdy została odkryta na nowo w latach 80.. Według Stevena Levy'ego, IBM niezależnie od NSA wynalazł kryptoanalizę różnicową.. , ale zachował ją w tajemnicy na wniosek NSA.. Technika ta stała się publicznie znana dopiero wtedy, kiedy.. Biham.. A.. Shamir.. odkryli ją kilka lat później.. Cała sprawa ilustruje trudność oceny, jakie zasoby i wiedzę może posiadać oponent chcący przeprowadzić atak.. Kolejnym przykładem uwikłania NSA była w 1993 roku sprawa.. układu.. Clipper.. – układu scalonego mającego być częścią przedsięwzięcia zmierzającego do kontrolowania kryptografii – rządowego projektu o nazwie.. Capstone.. był szeroko krytykowany przez kryptologów z dwóch przyczyn: użyty szyfr był tajny (algorytm o nazwie.. Skipjack.. został odtajniony dopiero w roku 1998, długo po wygaśnięciu projektu), co prowokowało obawy, że NSA celowo uczynił go słabym, aby wspomóc działania wywiadowcze.. Cały projekt.. był także krytykowany ponieważ łamał kryptograficzną.. zasadę Kerckhoffsa.. , która mówi, że kryptosystem powinien być bezpieczny, nawet jeśli szczegóły systemu, oprócz klucza, są publicznie znane – klucz używany przez wspomniany układ.. miał być deponowany przez administrację państwową i używany przez organy porządkowe np.. do podsłuchu telefonicznego.. Kryptografia stanowi podstawę cyfrowych systemów zarządzania uprawnieniami (DRM) – zespołu technik służących technologicznej kontroli użycia materiałów licencjonowanych – technik stosowanych na żądanie posiadaczy praw autorskich, a wdrażanych na szeroką skalę.. W 1998 prezydent.. Bill Clinton.. podpisał.. Digital Millennium Copyright Act.. (DMCA), ustawę penalizującą wytwarzanie, rozpowszechnianie i używanie niektórych technik i technologii kryptograficznych (znanych w chwili podpisywania ustawy, ewentualnie wynalezionych w przyszłości), szczególnie takich, które mogą być użyte w celu ominięcia schematów DRM (nawet gdy nie zachodzi pogwałcenie praw autorskich).. Prawo to od chwili jego uchwalenia miało w sobie potencjał bardzo poważnego wpływu na społeczność szukających nowych rozwiązań kryptologów, jako że w przypadku dowolnego odkrycia kryptoanalitycznego można podnieść argument, że narusza ono - lub może naruszać - DMCA.. FBI i Departament Sprawiedliwości USA postanowiły nie egzekwować prawa aż tak rygorystycznie, jak obawiali się niektórzy, jednakże prawo samo w sobie pozostaje kontrowersyjne.. Jeden z powszechnie szanowanych badaczy,.. Niels Ferguson.. , publicznie ujawnił, że nie zastosuje niektórych wyników badań w konstrukcji procesorów.. Intel.. z obawy przed oskarżeniem na mocy aktu DMCA.. Alan Cox.. (przez długi czas człowiek numer dwa jeśli chodzi o rozwój.. jądra systemu Linux.. ) i profesor.. Edward Felten.. (wraz z częścią swoich studentów z.. Princeton.. ) spotkali się z problemami związanymi z restrykcjami DMCA.. Dymitr Sklarow.. został podczas wizyty w USA aresztowany i osadzony na kilka miesięcy w więzieniu za naruszenie DMCA, "naruszenie", które miało miejsce w Rosji, gdzie wykonywana przez niego praca była, także w czasie gdy go aresztowano, legalna.. Podobne przepisy przyjęto po pewnym czasie w niektórych innych państwach – na przykład w 2001 roku w krajach Unii Europejskiej, pod postacią EU.. Copyright Directive.. W 2007 roku odkryto i ujawniono w Internecie klucze kryptograficzne, za pomocą których kodowane były materiały na.. DVD.. HD DVD.. W przypadkach obu systemów zapisu, organizacja.. MPAA.. , walcząca w interesie amerykańskich producentów filmowych, wielokrotnie informowała o naruszaniu DMCA, co spotkało się masowym sprzeciwem internautów, którzy powoływali się na prawo do wolności wypowiedzi i zasadę.. fair use.. We wrześniu 2010 r.. ujawniono w Internecie główny klucz HDCP umożliwiający nielegalne kopiowanie materiałów.. Twórca klucza -.. potwierdził autentyczność klucza.. Chaos Computer Club.. Materiały kryptograficzne.. Bruce Schneier:.. Kryptografia dla praktyków: protokoły, algorytmy i programy źródłowe w języku C.. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2002, s.. 27-28.. ISBN 83-204-2678-2.. Strona internetowa ABW.. Strona internetowa SKW.. Lista wyrobów certyfikowanych przez SKW.. Internetowa encyklopedia PWN.. Eerdmans Commentary on the Bible, James D G Dunn, John W Rogerson, eds.. , Wm.. B.. Eerdmans Publishing, 2003,.. ISBN 0-8028-3711-5.. Kama Sutra.. , Sir Richard F.. Burton, tłumaczenie, Część I, Rozdział III, Sztuka 44 i 45.. 8,0.. 8,1.. 8,2.. Łamacze kodów.. Historia kryptologii.. , 2004, WNT,.. ISBN 83-204-2746-0.. James Gannon.. Stealing Secrets, Telling Lies: How Spies and Codebreakers Helped Shape the Twentieth Century.. , Washington, D.. C.. , Brassey's, 2001,.. ISBN 1-57488-367-4.. 10,0.. 10,1.. 10,2.. , ".. New Directions in Cryptography.. ", IEEE Transactions on Information Theory, vol.. IT-22, 1976, pp: 644-654.. pdf.. 11,0.. 11,1.. Oded Goldreich.. Foundations of Cryptography, Volume 1: Basic Tools.. , Cambridge University Press, 2001,.. ISBN 0-521-79172-3.. 12,2.. 12,3.. 12,4.. 12,5.. AJ Menezes, PC van Oorschot, and SA Vanstone,.. Handbook of Applied Cryptography.. ISBN 0-8493-8523-7.. FIPS PUB 197: The official Advanced Encryption Standard.. NCUA letter to credit unions.. , July 2004.. RFC 2440.. – Open PGP Message Format.. SSH at windowsecurity.. com.. by Pawel Golen, July 2004.. 17,0.. 17,1.. Bruce Schneier.. Applied Cryptography.. , 2nd edition, Wiley, 1996,.. ISBN 0-471-11709-9.. , "Multi-user cryptographic techniques" [Diffie i Hellman, AFIPS Proceedings 45, pp109-112,.. 8 czerwca.. 1976.. Ralph Merkle.. pracował nad podobną koncepcją w tym samym czasie i Hellman sugerował, że używanym terminem powinien być kryptografia asymetryczna Diffiego-Hellmanana-Merkle'a.. David Kahn, "Cryptology Goes Public", 58.. Foreign Affairs.. 141, 151 (fall 1979), p.. 153.. Rivest.. L.. Adleman.. A Method for Obtaining Digital Signatures and Public-Key Cryptosystems.. Communications of the ACM, Vol.. 21 (2), pp.. 120-126.. 1978.. Previously released as an MIT "Technical Memo" in April 1977, and published in.. Martin Gardner.. 's.. Scientific American.. Mathematical Recreations.. column.. Clifford Cocks.. A Note on 'Non-Secret Encryption', CESG Research Report, 20 November 1973.. "Shannon":.. i Warren Weaver, "The Mathematical Theory of Communication", University of Illinois Press, 1963,.. ISBN 0-252-72548-4.. Pascal Junod,.. "On the Complexity of Matsui's Attack".. , SAC 2001.. Dawn Song, David Wagner, and Xuqing Tian,.. "Timing Analysis of Keystrokes and Timing Attacks on SSH".. , In Tenth.. USENIX Security.. Symposium, 2001.. Håstad, R.. Impagliazzo, L.. A.. Levin i M.. Luby,.. "A Pseudorandom Generator From Any One-Way Function".. , SIAM J.. Computing, vol.. 28 num.. 4, pp 1364-1396, 1999.. László Babai.. "Trading group theory for randomness".. Proceedings of the Seventeenth Annual Symposium on the Theory of Computing.. , ACM, 1985.. Blakley.. "Safeguarding cryptographic keys.. " In.. Proceedings of AFIPS 1979.. , volume 48, pp.. 313-317, June 1979.. "How to share a secret.. Communications of the ACM.. , volume 22, pp.. 612-613, ACM, 1979.. Goldwasser.. Micali.. , i.. C.. Rackoff.. , "The Knowledge Complexity of Interactive Proof Systems", SIAM J.. 18, num.. 1, pp.. 186-208, 1989.. Brands,.. "Untraceable Off-line Cash in Wallets with Observers".. , In.. Advances in Cryptology – Proceedings of.. CRYPTO.. , Springer-Verlag, 1994.. Canetti,.. "Universally composable security: a new paradigm for cryptographic protocols".. Proceedings of the 42nd annual Symposium on the Foundations of Computer Science.. FOCS.. ), pp.. 136-154, IEEE, 2001.. Dolev i A.. Yao,.. "On the security of public key protocols".. IEEE transactions on information theory.. , vol.. 29 num.. 2, pp.. 198-208, IEEE, 1983.. M.. Abadi i P.. Rogaway, "Reconciling two views of cryptography (the computational soundness of formal encryption).. IFIP International Conference on Theoretical Computer Science.. IFIP TCS 2000.. ), Springer-Verlag, 2000.. Song, "Athena, an automatic checker for security protocol analysis", In.. Proceedings of the 12th IEEE Computer Security Foundations Workshop.. CSFW.. ), IEEE, 1999.. RSA Laboratories' Frequently Asked Questions About Today's Cryptography.. Cryptography Speech.. from Cyberlaw.. "Case Closed on Zimmermann PGP Investigation".. , press note from the.. IEEE.. 39,0.. 39,1.. "Crypto: How the Code Rebels Beat the Government – Saving Privacy in the Digital Age.. Penguin Books.. , 2001, s.. 56.. ISBN 0-14-024432-8.. Bernstein v USDOJ.. , 9th Circuit court of appeals decision.. "The Data Encryption Standard (DES)".. from.. 's CryptoGram newsletter,.. 15 czerwca.. 2000.. Coppersmith.. http://portal.. acm.. org/citation.. cfm?id=185915.. „IBM Journal of Research and Development”.. 38.. 243, maj 1994.. "Differential cryptanalysis of DES-like cryptosystems".. , Journal of Cryptology, vol.. 4 num.. 3-72, Springer-Verlag, 1991.. Levy, pg.. EU Copyright Directive.. Wyciekł główny klucz HDCP - dobreprogramy.. Intel potwierdza: opublikowany klucz HDCP jest autentyczny - dobreprogramy.. Sekrety kryptografii.. , Friedrich L.. Bauer,.. ISBN 83-7197-960-6.. Kryptografia dla praktyków.. Protokoły, algorytmy i programy źródłowe w języku C.. , Bruce Schneier,.. Kryptografia w praktyce.. , Bruce Schneier, Niels Ferguson,.. ISBN 83-7361-211-4.. , David Kahn,.. Księga szyfrów.. , Simon Singh.. Bezpieczeństwo danych w systemach informatycznych.. , J.. Stokłosa, T.. Bilski i T.. Pankowski.. Kryptografia: teoria i praktyka zabezpieczania systemów komputerowych.. Mirosław Kutyłowski i Willy-B.. Strothmann,.. ISBN 83-7147-092-4.. Budowa i łamanie zabezpieczeń.. , Reinhardt Wobst.. Algebraiczne aspekty kryptografii.. , N.. Koblitz,.. ISBN 83-204-2418-6.. Kryptografia i ochrona danych.. , D.. Robling-Denning,.. ISBN 83-204-1480-6.. Kryptografia.. W teorii i w praktyce.. , Douglas R.. Stinson,.. ISBN 83-204-2982-X.. Menezes, P.. van Oorschot i S.. Vanstone CRC Press, (książka, w formacie PDF, dostępna bezpłatnie do użytku domowego).. Crypto Glossary and Dictionary of Technical Cryptography.. Crypto Glossary and Dictionary of Technical Cryptography (po angielsku).. Sprzętowa generacja losowych ciągów binarnych.. , Marek Leśniewicz, WAT, Warszawa 2009,.. ISBN 978-83-61486-31-2.. php?title=Kryptologia oldid=39977055.. Prywatność.. Boarisch.. Occitan.. Tę stronę ostatnio zmodyfikowano o 22:16, 29 lip 2014..

    Original link path: /wiki/Kryptologia
    Open archive

  • Title: Krzywa Béziera – Wikipedia, wolna encyklopedia
    Descriptive info: Krzywa Béziera.. Przykładowa krzywa Béziera.. (wym.. /'.. b.. j.. r.. /.. ) – parametryczna.. powszechnie stosowana w programach do projektowania inżynierskiego.. CAD.. MicroStation.. ), projektowania.. grafiki komputerowej.. Corel Draw.. Adobe Illustrator.. Inkscape.. ), do reprezentowania kształtów znaków w.. czcionkach komputerowych.. TrueType.. METAFONT.. Type1.. ) i systemach przetwarzania grafiki (.. PostScript.. MetaPost.. ) oraz w.. grafice wektorowej.. format.. SVG.. Krzywe Béziera zostały niezależnie opracowane przez.. Pierre'a Béziera.. , francuskiego inżyniera firmy.. Renault.. , oraz.. Paula de Casteljau.. , pracującego dla konkurencyjnej firmy.. Citroën.. Prace nad krzywymi prowadzone były przez obu naukowców od początku lat 60.. , ale przez długi okres objęte ścisłą tajemnicą służbową.. Dopiero pod koniec lat 60.. pojawiły się pierwsze ogólnodostępne publikacje Pierre Béziera przedstawiające jego koncepcje, natomiast prace de Casteljau koncern Citroen ukrywał jeszcze przez kilka lat – pierwsze wzmianki o nim pojawiają się dopiero w 1971, gdy prace Béziera były znane od dawna.. Do rozpowszechnienia się krzywych Béziera znacząco przyczynił się A.. Forrest artykułem.. Interactive interpolation and approximation by Bezier polynomials.. opublikowanym w.. 1972.. roku w branżowym piśmie.. The Computer Journal.. Krzywe Béziera są krzywymi.. parametrycznymi.. każda współrzędna punktu krzywej jest pewną.. liczby rzeczywistej.. będącej wspomnianym parametrem; aby określić krzywą na płaszczyźnie, potrzebne są dwie funkcje, aby określić krzywą w przestrzeni – trzy, itd.. Ze względu na rodzaj tych funkcji mówi się o krzywych.. wielomianowych.. oraz krzywych.. wymiernych.. Powszechnie stosuje się również krzywe złożone z kawałków.. gładko.. połączonych krzywych wielomianowych bądź wymiernych, tzw.. krzywych B-sklejanych.. (także: krzywych gładkich).. Niezależnie od rodzaju krzywej, na jej przebieg wpływa.. łamana.. kontrolna.. , określona za pomocą punktów kontrolnych, których liczba jest zwykle niewielka.. Ta cecha bardzo ułatwia pracę interakcyjną, bowiem człowiek w naturalny sposób może ustalać położenie punktów i łatwo korygować błędy.. Podstawowe wiadomości.. Podstawy matematyczne.. Krzywe wielomianowe.. Wielomianowe krzywe Béziera trzeciego stopnia.. Wymierne krzywe Béziera.. Krzywe B-sklejane.. Przykład wielomianowej krzywej Béziera 14.. stopnia.. są powszechnie stosowane.. W praktyce wykorzystuje się krzywe niskich stopni, opisywane niewielką liczbą punktów kontrolnych.. Najpowszechniej stosowane są krzywe drugiego stopnia (trzy punkty kontrolne, np.. fonty TrueType) lub trzeciego (cztery punkty kontrolne, np.. fonty Type1, METAFONT, SVG, cała gama różnych pakietów graficznych); rzadziej stosuje się krzywe wyższych stopni.. Krzywe wielomianowe są również dostępne w wielu bibliotekach programistycznych, np.. OpenGL.. , Java2D,.. Tcl.. Krzywe niskich stopni są wygodniejsze w użyciu, łatwiejsze w realizacji są różne algorytmy związane z takimi krzywymi np:.. obcinanie.. , wyznaczanie przecięć z innymi krzywymi, wyznaczanie ekstremów itp.. Krzywe wymierne.. mają nad krzywymi wielomianowymi jedną zasadniczą przewagę: można za ich pomocą reprezentować wszystkie.. krzywe stożkowe.. , w szczególności okręgi, elipsy i ich wycinki, co ma fundamentalne znaczenie w projektowaniu wspomaganym komputerowo.. Krzywe wielomianowe mogą okręgi i elipsy zaledwie.. aproksymować.. , co jednak nie jest wadą w zastosowaniach rysunkowych, gdzie dokładność nie jest priorytetem.. Zarówno krzywe wielomianowe, jak i wymierne cechuje jedna wspólną niedogodność – trudno za pomocą jednej krzywej przedstawiać skomplikowane kształty.. Można co prawda dodawać nowe punkty kontrolne, ale to powoduje, że kontrola kształtu jest mocno utrudniona, przemieszczenie bowiem jednego punktu wpływa na całą krzywą, a ponadto im wyższy stopień, tym zmiana położenia punktów kontrolnych jest mniej widoczna (mówiąc obrazowo, trzeba punkty przemieszczać na duże odległości, aby odniosło to jakiś widoczny skutek).. Z tego względu powszechnie stosuje się krzywe B-sklejane, które oferują lokalną kontrolę kształtu – na skutek przemieszczenia jednego punktu kontrolnego zmianie ulegnie tylko jego bliskie otoczenie.. Krzywe B-sklejane są to takie krzywe, które składają się z fragmentów krzywych bądź to wielomianowych, bądź wymiernych (względnie  ...   , itd.. Tej wady pozbawione są.. wymierne krzywe Béziera.. Krzywa Béziera trzeciego stopnia.. Najczęściej używane są krzywe trzeciego stopnia leżące na.. Definiując krzywą trzeciego stopnia określa się 4.. (na rysunku odpowiednio.. ), których położenie wyznacza przebieg krzywej.. Krzywa ma swój początek w punkcie.. i skierowana jest w stronę punktu.. Następnie zmierza w stronę punktu.. dochodząc do niego od strony punktu.. Odcinek.. jest styczny do krzywej w punkcie.. , natomiast odcinek.. jest styczny w punkcie.. Krzywą Béziera trzeciego stopnia określa następujące równanie:.. czyli:.. Alternatywny zapis macierzowy:.. ) i koniec w punkcie.. Krzywą Béziera trzeciego stopnia można też opisać następującym układem równań dla.. Zdefiniowane w ten sposób wzory mogą zostać odwrócone tak, by otrzymać zmienne kierunkowe (są one stałe dla każdej krzywej Béziera):.. Wymierna krzywa Béziera.. Wymierna krzywa Béziera to rzut środkowy wielomianowej krzywej Béziera zdefiniowanej we.. współrzędnych jednorodnych.. na płaszczyznę.. Tak samo dane jest.. punktów kontrolnych.. Jeśli przestrzeń jednorodna jest.. -wymiarowa, wówczas do opisu krzywej potrzebne jest tyleż wielomianów.. Dowolny punkt krzywej wielomianowej jest dany jako.. Po przejściu na.. współrzędne kartezjańskie.. (rzucie środkowym.. ) otrzymuje się.. wyrażeń wymiernych.. , a punkt na tej płaszczyźnie dany jest wzorem.. to krzywa jest wielomianowa - mówiąc nieformalnie krzywe wielomianowe to specjalny przypadek krzywych wymiernych.. Dowolny punkt na krzywej wymiernej dany jest wzorem:.. Gdzie.. to współrzędna W, jednak częściej nazywana jest wagą punktu kontrolnego.. Aby wyznaczyć punkt na krzywej można także posłużyć się algorytmem de Casteljau albo wariantem dla krzywych wymiernych lub wielomianowych.. Atuty w stosunku do wielomianowych krzywych Béziera są następujące:.. mogą reprezentować wszystkie krzywe stożkowe, co ma znaczenie w zastosowaniach CAD;.. rzut perspektywiczny krzywej wymiernej jest zawsze krzywą wymierną, podczas gdy rzut perspektywiczny krzywej wielomianowej nie musi być krzywą wielomianową, co ma znaczenie w grafice komputerowej;.. wagi.. pozwalają na lepszą kontrolę nad kształtem krzywej.. Krzywa B-sklejana.. Krzywe B-sklejane składają się z fragmentów wielomianowych bądź wymiernych krzywych Béziera, najczęściej niskiego stopnia (.. Dla krzywej B-sklejanej parametr.. również należy do przedziału.. Przedział ten jest dzielony na podprzedziały, a liczby określające ich granicę nazywane są węzłami (ang.. knot.. Kolejne węzły mogą być sobie równe, tworząc w ten sposób puste podprzedziały – nie jest to błąd.. Jeśli węzłów jest.. ), a stopień wielomianów jest równy.. , to do określenia krzywej potrzebne jest.. punktów kontrolnych, zaś liczba krzywych, które składają się na całość, wynosi.. Sklejane krzywe są zdefiniowane na przedziale.. , nie na.. Dowolny punkt na krzywej B-sklejanej jest dany wzorem, który wynika z.. algorytmu Mansfielda-de Boora-Coxa.. unormowane funkcje B-sklejane.. Krzywe B-sklejane mają następujące zalety w stosunku do krzywych wielomianowych i wymiernych:.. Lokalna kontrola kształtu.. – przemieszczanie jednego punktu kontrolnego wpływa na niewielkie otoczenie tego punktu, najwyżej.. sąsiednich krzywych.. Możliwość dowolnego rozmieszczania węzłów daje lepszą i większą kontrolę nad kształtem krzywej.. Dodatkowo jeśli węzły pokrywają się, tzn.. istnieją puste podprzedziały, uzyskuje się "ostre" (nie gładkie) połączenia.. W łatwy sposób można wstawiać nowe węzły (ang.. knot insertion.. ), dzięki czemu proces modelowania jest prostszy.. Szczególne znaczenie i popularność zyskały wymierne krzywe B-sklejane (.. ), łączące zalety zwykłych krzywych wymiernych z wymienionymi wyżej.. lista krzywych.. Płaty Béziera.. Przemysław Kiciak:.. Podstawy modelowania krzywych i powierzchni: zastosowania w grafice komputerowej.. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2000.. ISBN 83-204-2464-X.. James D Foley, Andries van Dam, Steven K Feiner, John F Hughes, Richard L Phillips:.. Wprowadzenie do grafiki komputerowej.. Jan Zabrodzki (tłumaczenie).. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1995.. ISBN 83-204-1840-2.. Interaktywny applet Javy obrazujący krzywe Béziera.. php?title=Krzywa_Béziera oldid=40291657.. Modelowanie (grafika komputerowa).. Tę stronę ostatnio zmodyfikowano o 20:22, 31 sie 2014..

    Original link path: /wiki/Krzywa_B%C3%A9ziera
    Open archive

  • Title: Liczba – Wikipedia, wolna encyklopedia
    Descriptive info: Liczba.. Ten artykuł dotyczy pojęcia.. liczby.. w matematyce.. inne znaczenia.. Zawieranie się zbiorów i ogólniej – klas liczbowych w sobie.. oznacza tu, że można skonstruować.. klasę.. liczb.. tak, aby była podklasą klasy.. Zbiory umieszczone na rysunku powyżej liczb zespolonych noszą wspólną nazwę.. Na niebiesko oznaczone są rodzaje liczb które nie tworzą zbiorów, lecz klasy właściwe.. Liczby algebraiczne całkowite nie są szczególnym przypadkiem liczb algebraicznych rzeczywistych – to nie jest pomyłka.. Zobacz sekcję.. Liczby algebraiczne.. liczba.. – pojęcie abstrakcyjne, jedno z najczęściej używanych w.. Pierwotnie liczby służyły do porównywania wielkości zbiorów przedmiotów (.. liczby naturalne.. ), później także wielkości ciągłych (miary i wagi), obecnie w matematyce są rozważane jako twory abstrakcyjne, w oderwaniu od ewentualnych fizycznych zastosowań.. Określenie „liczba” bez żadnego przymiotnika jest nieścisłe, gdyż matematycy nie definiują „liczb”, lecz „liczby naturalne”, „liczby całkowite” itp.. Poszczególne rodzaje liczb są definiowane za pomocą.. lub konstruowane z bardziej podstawowych pojęć, takich jak.. , czy typy liczb prostsze od konstruowanego.. Opis intuicyjny.. Liczby naturalne.. Liczby całkowite.. Liczby wymierne.. Liczby rzeczywiste.. Liczby przestępne.. Liczby dualne.. Liczby podwójne.. Oznaczenia zbiorów liczbowych.. Ścisłe definicje liczb.. Moce zbiorów liczbowych.. Systemy liczbowe.. Pozycyjne systemy liczbowe.. Addytywne systemy liczbowe.. Reprezentacje liczb w informatyce.. Liczby zespolone i kwaterniony.. Najprostsze rodzaje liczb, jak.. rzeczywiste.. , są w powszechnym użyciu jako oznaczenia ilości przedmiotów (np.. pięć jabłek) lub mnożnika pewnej.. jednostki miary.. dwa i pół metra).. Zapisy liczb naturalnych są używane także jako.. identyfikatory.. numery telefonów.. , dróg,.. PESEL.. ISBN.. W matematyce pojęcie liczby zostało rozszerzone z poznawanych w szkole podstawowej liczb naturalnych, wymiernych i rzeczywistych na takie abstrakcje, jak.. p-adyczne.. sedeniony.. Liczby zespolone okazały się przydatne w wielu dziedzinach od.. , przez.. elektronikę.. teorię płynów.. , aż do.. fizyki kwantowej.. teorii względności.. Kwaterniony znalazły zastosowanie w.. grafice trójwymiarowej.. do prostego obliczania obrotów w przestrzeni (zob.. Liczby p-adyczne.. znalazły zastosowanie w.. Poniższe opisy w żadnym wypadku nie są ścisłymi definicjami.. Liczby są jednak w matematyce definiowane ściśle, i definicje te są przedstawione w.. wydzielonym artykule.. Poniżej podane są opisy tylko kilku najprostszych zbiorów liczbowych.. Najczęściej używanymi liczbami są liczby naturalne.. Wśród matematyków istnieją dwie szkoły:.. Jedni uważają, że zero powinno zaliczać się do liczb naturalnych (a więc liczby naturalne to.. Takie podejście jest związane z najbardziej „naturalnym” zastosowaniem liczb naturalnych – zliczaniem elementów skończonych zbiorów.. W życiu codziennym używa się liczb naturalnych głównie w tym właśnie celu, aby określić liczbę przedmiotów w jakiejś grupie.. Zero odpowiada wtedy liczności.. zbioru pustego.. Inni uznają, że liczby naturalne zaczynają się od jedynki.. Liczba zero weszła do matematyki stosunkowo późno.. Dopiero w.. XVII wieku.. zero było powszechnie rozpoznawane jako liczba w Europie.. , być może więc wydaje się „mniej naturalna” od pozostałych liczb naturalnych.. Z punktu widzenia aksjomatyki kwestia zaliczenia zera do liczb naturalnych jest czysto umowna i nie sprawia żadnych problemów pod warunkiem konsekwentnego trzymania się tej umowy podczas rozumowania.. liczby całkowite.. Liczby ujemne.. to liczby mniejsze od zera.. Dla każdej dodatniej liczby (czyli większej od zera) można wskazać liczbę do niej przeciwną, czyli liczbę ujemną leżącą na osi liczbowej w tej samej odległości od zera.. Ich suma zawsze daje zero: jeśli na konto wpłynie 100 zł, to w rachunkach można ten fakt zaznaczyć jako 100, wypłatę 100 zł można wtedy oznaczać liczbą ujemną -100.. Liczby naturalne.. , zero oraz liczby przeciwne do naturalnych.. znane są właśnie jako liczby całkowite.. liczby wymierne.. Liczby wymierne to intuicyjnie.. ułamki.. powstające przez podzielenie liczby całkowitej (zwanej.. licznikiem.. ) przez liczbę całkowitą różną od zera (zwaną.. mianownikiem.. Dzielenie przez zero.. jest operacją niewykonalną.. Ułamek.. reprezentuje wielkość otrzymaną po podzieleniu całości na.. równych części, a następnie wybraniu.. spośród nich.. Dwa różne ułamki mogą reprezentować tę samą liczbę wymierną, np.. Każdy ułamek można jednak skrócić, tzn.. podzielić licznik i mianownik przez tę samą liczbę całkowitą (ich.. największy wspólny dzielnik.. ), tak aby dalsze dzielenie tych wielkości w zbiorze liczb całkowitych było już niemożliwe.. Jeśli licznik i mianownik są jednocześnie dodatnie lub jednocześnie ujemne, to reprezentowana przez ułamek liczba wymierna również jest dodatnia.. Jeśli licznik jest zerem, to liczba wymierna jest zerem.. Jeśli licznik ma znak przeciwny do znaku mianownika, to liczba wymierna nim wyrażona jest ujemna.. , to ułamek reprezentuje liczbę większą od 1.. jest liczbą całkowitą), to ułamek reprezentuje liczbę całkowitą.. Liczby wymierne są.. uporządkowane liniowo.. (każde dwie liczby wymierne są porównywalne).. Jest to porządek gęsty: pomiędzy dwiema różnymi liczbami można zawsze znaleźć trzecią (a nawet nieskończoną ich liczbę).. Już starożytni.. pitagorejczycy.. odkryli, że istnieją liczby, których nie da się przedstawić w postaci ułamka.. (takie jak np.. , czyli długość przekątnej kwadratu o boku jednostkowym), a więc nie są liczbami wymiernymi.. Pitagorejczycy czcili liczby jako doskonałość i to odkrycie było dla nich szokiem.. Fakt istnienia liczb niewymiernych był ich najgłębiej skrywaną tajemnicą.. Liczby rzeczywiste to liczby wymierne oraz.. liczby niewymierne.. znajdujące się pomiędzy liczbami wymiernymi, lecz nie dające wyrazić się w postaci ułamka, takie jak.. Każdej liczbie rzeczywistej odpowiada.. Każda liczba rzeczywista jest.. punktem skupienia.. zbioru liczb wymiernych i liczby wymierne są.. gęstym.. podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych.. Liczby urojone.. to liczby, których.. kwadraty.. są niedodatnimi liczbami rzeczywistymi.. W szczególności jedną z nich jest tzw.. jednostka urojona.. , dla której.. Żadna liczba urojona oprócz zera nie jest równocześnie liczbą rzeczywistą.. Liczby zespolone to liczby powstające przez zsumowanie liczby rzeczywistej i liczby urojonej, np.. W szczególności liczby rzeczywiste oraz liczby urojone także są liczbami zespolonymi (np.. Każdej liczbie zespolonej odpowiada punkt na.. ), a dodawanie i mnożenie są interpretowane geometrycznie.. Liczby zespolone są szczególnymi przypadkami.. tessarinów.. kokwaternionów.. liczby algebraiczne.. Liczba algebraiczna to taka liczba zespolona, która podstawiona do jakiegoś.. wielomianu.. o wymiernych współczynnikach (np.. ) da w wyniku zero.. W szczególności każda liczba wymierna.. jest algebraiczna, bo jest pierwiastkiem wielomianu.. liczby przestępne.. Liczby przestępne to liczby zespolone nie będące algebraicznymi.. Słynnymi przykładami liczb przestępnych są.. liczby dualne.. Nilpotent.. to taki element, że.. Liczby dualne powstają analogicznie do liczb zespolonych poprzez zsumowanie części rzeczywistej i wielokrotności nilpotenta.. Mają one postać.. to liczby rzeczywiste.. liczby podwójne.. Przy konstrukcji liczb podwójnych używa się jednostki.. niebędącej liczbą rzeczywistą.. Różni się ona od jednostki urojonej.. w tym, że.. Liczby podwójne powstają poprzez zsumowanie części rzeczywistej i wielokrotności jednostki.. Liczby rzeczywiste są szczególnymi przypadkami liczb podwójnych, dla.. Liczby podwójne są natomiast szczególnymi przypadkami tessarinów i kokwaternionów (ale nie kwaternionów).. W matematyce powszechnie przyjęte są pewne oznaczenia zbiorów liczbowych.. W polskich gimnazjach i szkołach średnich korzysta się z symboli nawiązujących do polskich nazw zbiorów, jednak w szkołach wyższych i środowisku naukowym (a także tym i pozostałych artykułach Wikipedii) korzysta się z oznaczeń międzynarodowych.. Zbiór.. Oznaczenie „szkolne”.. Oznaczenie standardowe.. Liczby naturalne bez zera.. , czasem.. rzadziej używane oznaczenia:.. Liczby naturalne z zerem.. teorii mnogości.. od.. Zahlen.. – liczby.. Quotient.. – iloraz.. Liczby niewymierne.. czasem.. od ang.. real numbers.. complex numbers.. Kwaterniony.. Hamilton numbers.. – liczby Hamiltona.. Oktoniony.. znane również jako oktawy Cayleya.. Sedeniony.. Działania.. na liczbach, takie jak.. odejmowanie.. dzielenie.. , można zdefiniować także w zbiorach, które nie mają z liczbami wiele wspólnego, jak.. wielościanów.. w przestrzeni, o ile tylko działania te będą tam miały podobne właściwości, np.. będą.. Struktury algebraiczne.. , w których działania mają pewne określone właściwości, posiadają w.. algebrze.. własne nazwy, takie jak.. grupa.. Liczby na ogół definiowane są krok po kroku.. Rozpoczyna się od liczb naturalnych, następnie rozszerza ich algebrę na liczby całkowite, wymierne, rzeczywiste, zespolone….. liczb całkowitych i wymiernych rozszerzają kolejno strukturę liczb naturalnych tak, aby najprostsze działania arytmetyczne dawały się w nich wykonać dla dowolnych dwóch liczb (z wyjątkiem.. dzielenia przez zero.. Działania takie nazywa się.. działaniami wewnętrznymi.. danego zbioru liczbowego, gdyż ich wynik zawsze będzie zawarty w tym zbiorze, dlatego mówi się też, że zbiór jest.. zamknięty ze względu na.. działanie.. Kolejne rozszerzenia – na liczby rzeczywiste i zespolone – wzbogacają strukturę  ...   nieujemną zapisuje się jako.. W krajach anglosaskich zamiast przecinka zarezerwowanego do oddzielania tysięcy używana jest kropka.. Dla liczb ujemnych zapisujemy ich.. , dodając z przodu znak.. Przez analogię dla liczb dodatnich można dodać z przodu znak.. księgowości.. stosuje się też inne notacje, np.. liczby ujemne ujmuje się w nawiasy.. Liczby rzeczywiste często wymagają nieskończonej liczby cyfr do swego zapisu.. Zapis liczb wymiernych zawsze wykazuje okresowość, tzn.. począwszy od pewnego momentu ciąg cyfr zaczyna się cyklicznie powtarzać.. Liczby naturalne są zapisywane skończoną liczbą cyfr, gdyż wszystkie cyfry.. są zerami, więc ich zapis można pominąć.. addytywnych systemach liczbowych.. symbole mają zawsze tę samą wartość, a liczbę uzyskuje się przez ich sumowanie.. Tym samym musi ich być odpowiednio więcej.. rzymski system liczbowy.. – używany śladowo do dziś, np.. do zapisu stulecia.. Dane w.. pamięci komputera.. czy też w plikach zapisane są w postaci ciągu tzw.. bajtów.. Każdy bajt składa się z ośmiu cyfr systemu dwójkowego (0 lub 1), zwanych.. bitami.. Pojedynczy bajt może przyjmować jeden z.. stanów.. Powstaje konieczność zakodowania liczb w postaci ciągu bajtów, tak aby komputery mogły je przetwarzać.. Można to zrobić na wiele sposobów, jednak w praktyce używanych jest kilka standardów:.. Typ.. obejmujący przedział liczb naturalnych z zerem zwany jest w informatyce.. liczbami bez znaku.. unsigned integers.. W informatyce zawsze zalicza się zero do liczb bez znaku i – w odróżnieniu od matematyki – elementy.. ciągu.. , zwanego tu.. tablicą jednowymiarową.. , w najpopularniejszych.. językach.. numeruje się konsekwentnie od zera.. Liczby naturalne z przedziału 0-255 można po prostu zakodować jako wartość jednego bajta.. Na dwóch bajtach można już zapisać liczby naturalne z przedziału 0-65535 (mamy do dyspozycji.. stanów).. Każdą taką liczbę można zapisać w postaci.. to wartości tzw.. starszego bajta.. młodszego bajta.. , z przedziału od 0 do 255 każda.. Wartości te można zapisać w pamięci na dwa sposoby: albo pierwszy jest starszy bajt, a drugi młodszy (tzw.. notacja.. big endian.. ), albo odwrotnie (.. little endian.. W procesorach kompatybilnych z architekturą.. Intela.. (czyli np.. w komputerach.. PC.. ) stosowany jest.. , a w wielu innych procesorach (np.. na większości serwerów).. Są też procesory na których kolejność można przełączać.. Nie ma to wielkiego znaczenia, dopóki nie zapiszemy liczby do.. pliku.. , albo nie prześlemy jej siecią i nie przeniesiemy w ten sposób na komputer stosujący inny standard.. Z tego powodu np.. maszyny wirtualne.. Java.. wykorzystują w plikach format.. niezależnie od procesora.. Na czterech bajtach można zapisać liczby z przedziału 0 – 4 294 967 295.. Analogicznie jak poprzednio, przedstawienie danej liczby w systemie 256-kowym pozycyjnym jako.. uzyskuje się cztery bajty.. Kolejność ich zapisu w pamięci, tak jak poprzednio, zależy od procesora – w przypadku.. od bajta.. , w przypadku.. – odwrotnie.. Do niektórych zastosowań konieczne są jeszcze większe liczby naturalne, np.. zapisywane na 8 bajtach (w rodzinie C oznaczane.. unsigned _int64.. unsigned long long int.. Istnieją inne sposoby zapisu liczb naturalnych, bardzo rzadko jednak stosowane.. Należy do nich.. kod BCD.. (od ang.. binary coded decimal.. ), gdzie kolejne cyfry dziesiętne są zapisywane w kolejnych półbajtach (inaczej.. niblach.. , porcjach danych długości 4 bitów).. Komplikuje to arytmetykę, ale upraszcza przeliczanie na system dziesiętny, kod BCD jest więc czasem stosowany w licznikach cyfrowych.. liczba całkowita (typ danych).. Typ obejmujący przedział liczb całkowitych zwany jest w informatyce.. liczbami ze znakiem.. signed integers.. Stosuje się tzw.. kod uzupełnień do dwóch.. (U2).. , która ma zostać zapisana w postaci.. bajtów jest przekształcana w następujący sposób:.. Następnie liczba.. jest zapisywana jako liczba naturalna.. W ten sposób na jednym bajcie można zapisywać liczby z przedziału od.. , na dwóch od.. , i ogólnie na.. bajtach liczby od.. włącznie.. Istnieją inne metody zapisu (np.. kod uzupełnień do jedności.. ), obecnie jednak nie stosowane.. W celu zapisywania dużych liczb naturalnych lub całkowitych buduje się odpowiednie.. klasy.. java.. math.. BigInteger.. w języku.. Liczby rzeczywiste mogą być zapisywane jako:.. liczby stałoprzecinkowe.. , kiedy liczba mnożona jest przez pewną ustaloną z góry stałą, po czym.. zaokrąglana.. do najbliższej liczby całkowitej i jako taka zapisywana;.. liczby zmiennoprzecinkowe.. , gdy stała dobierana jest w zależności od kodowanej liczby, co czyni tę metodę uniwersalniejszą.. Powszechnie stosuje się zmiennoprzecinkowy zapis liczby rzeczywistej w standardzie.. IEEE 754.. Przybliżenie liczby rzeczywistej jest zapisywane w postaci.. jest nazywany.. znakiem.. wykładnikiem.. mantysą.. Zero, które można by zakodować na wiele sposobów jest kodowane jako.. Znak jest zapisywany jako jeden bit, równy 0 dla.. i 1 dla.. Wykładnik jest zapisywany jak każda inna liczba całkowita w kodzie uzupełnień do dwóch.. Mantysa jest mnożona przez.. to liczba bitów przeznaczona na nią i zapisywana jako liczba naturalna.. Całość zajmuje kolejnych 4, 8 albo 16 bajtów (w zależności od wymaganej precyzji).. Ich kolejność umieszczenia w pamięci jest zależna od procesora, identycznie jak w przypadku liczb naturalnych i całkowitych.. Niektóre.. języki programowania.. posiadają arytmetykę liczb zespolonych.. W nowoczesnych językach zwykle jest to realizowane za pomocą odpowiednich klas, np.. Complex.. ze standardowej biblioteki.. C++.. Jedną z przyczyn dawnej popularności.. Fortranu.. był fakt, iż język ten jako pierwszy posiadał.. typ.. Klasa obsługująca kwaterniony zdefiniowana jest w pakiecie.. DirectX.. , będąc sposobem na użycie tzw.. do opisu.. modelowanej.. przestrzeni.. trójwymiarowej.. wierzchołków.. trójwymiarowej.. sceny.. ) w.. ; podobne typy istnieją również w innych pakietach grafiki trójwymiarowej.. Ta sekcja została wydzielona jako osobny artykuł:.. Historia liczb.. kolekcję cytatów.. związanych z liczbą.. znak liczby.. liczebniki główne potęg tysiąca.. algebraiczne.. automorficzne.. bliźniacze.. całkowite.. doskonałe.. dualne.. Fermata.. Fibonacciego.. kardynalne.. Mersenne'a.. naturalne.. niewymierne.. parzyste i nieparzyste.. pierwsze.. piramidalne.. podobieństwa.. podwójne.. porządkowe.. półpierwsze.. przestępne.. ujemne.. urojone.. wymierne.. zaprzyjaźnione.. zespolone.. złożone.. fraktale.. zastosowanie liczb zespolonych w analizie obwodów elektrycznych.. , ponadto stosowane są one również w.. teorii sygnałów.. funkcja falowa.. Zero.. Zdaniem pitagorejczyków odkrycie to zaprzeczało głoszonej przez nich doskonałości wszelkich liczb – liczby niewymierne uznali za niedoskonałe.. Zobacz też.. dowód niewymierności pierwiastka z dwóch.. Witold Więsław.. stwierdza:.. Pitagorejczycy udowodnili, że przekątna kwadratu nie jest współmierna z jego bokiem, tzn.. jest liczbą niewymierną.. Byłoby interesujące dowiedzieć się, kto pierwszy tego dowiódł.. Zapewne nigdy się już tego nie dowiemy.. Jedno jest pewne: Pitagoras pod koniec V w.. wiedział, że.. (Zob.. : Więsław, Witold:.. Matematyka i jej historia.. , Wydawnictwo NOWIK, Opole 1997,.. ISBN 83-905456-7-5.. , strona 36.. Weisstein, Eric W.. Rational Number in MathWorld – A Wolfram Web Resource.. [dostęp 12 kwietnia 2007].. co udowodnił.. Georg Cantor.. w 1874; zobacz też.. twierdzenie Cantora.. Typografia wyróżnia cztery różne znaki: – (.. dywiz, łącznik.. ), – (.. półpauza.. ), — (.. pauza.. ) oraz − (.. minus.. ), który od półpauzy różni się wyglądem oraz położeniem (zgodnym z innymi znakami matematycznymi).. JavaScript.. C#.. , w.. asemblerach.. PHP.. (przy wywołaniu funkcji.. array.. z domyślnymi parametrami),.. Perl.. , choć istnieją starsze języki w których numeruje się je od jedynki (wiele dialektów.. Basica.. Fortran.. ), lub zakres numeracji można samodzielnie zdefiniować (.. Pascal.. SAS 4GL.. Algol.. Ada.. Dokumentacja:.. http://java.. sun.. com/j2se/1.. 2/docs/api/java/math/BigInteger.. html.. http://msdn2.. microsoft.. com/en-us/library/microsoft.. windowsmobile.. directx.. quaternion.. aspx.. Jerzy Klukowski, I.. Nabiałek:.. Algebra dla studentów.. 2004.. ISBN 83-204-3124-7.. Rachunek różniczkowy i całkowy.. Krzysztof Maurin.. Analiza – Część I – Elementy.. Helena Musielak, Julian Musielak:.. Poznań: Wydawnictwo Naukowe UAM, 2000.. ISBN 83-232-1049-7.. Prószyński i S-ka, 2003.. Jerzy Rutkowski:.. Algebra abstrakcyjna w zadaniach.. 2006.. ISBN 83-01-14388-6.. Widomski:.. Ontologia liczby.. Kraków: 1996.. Wyprowadzenie wszystkich algebr liczbowych od liczb naturalnych do oktaw Cayleya włącznie, w sposób zrozumiały dla uczniów gimnazjum, znajduje się w książce:.. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1989.. php?title=Liczba oldid=40314992.. Liczby.. Ænglisc.. Аҧсшәа.. Aragonés.. ܐܪܡܝܐ.. Avañe'ẽ.. Bahasa Banjar.. བ ད་ཡ ག.. Буряад.. Чӑвашла.. Choctaw.. Emiliàn e rumagnòl.. Føroyskt.. Frysk.. Fulfulde.. Хальмг.. Hausa.. Ilokano.. Ирон.. ಕನ ನಡ.. Лакку.. Luganda.. Malagasy.. मर ठ.. Nāhuatl.. Nordfriisk.. Nouormand.. Novial.. Русиньскый.. Саха тыла.. Sängö.. Sesotho sa Leboa.. Basa Sunda.. Taqbaylit.. Tarandíne.. Татарча/tatarça.. ትግርኛ.. Türkmençe.. Vèneto.. Võro.. Winaray.. Yorùbá.. Žemaitėška.. Tę stronę ostatnio zmodyfikowano o 07:20, 2 wrz 2014..

    Original link path: /wiki/Liczba
    Open archive

  • Title: Odchylenie standardowe – Wikipedia, wolna encyklopedia
    Descriptive info: Odchylenie standardowe.. klasyczna.. miara.. zmienności.. , obok.. średniej arytmetycznej.. najczęściej stosowane pojęcie.. statystyczne.. Intuicyjnie rzecz ujmując, odchylenie standardowe mówi, jak szeroko wartości jakiejś.. wielkości.. (takiej jak np.. wiek,.. inflacja.. kurs akcji.. itp.. ) są rozrzucone wokół jej.. średniej.. Im mniejsza wartość odchylenia tym obserwacje są bardziej skupione wokół średniej.. Odchylenie standardowe jest.. pierwiastkiem kwadratowym.. wariancji.. Pojęcie odchylenia zostało wprowadzone przez pioniera statystyki,.. Karla Pearsona.. Wyróżnia się:.. odchylenie standardowe zmiennej losowej.. , będące właściwością badanego zjawiska.. Daje się ono obliczyć na podstawie ścisłych informacji o.. rozkładzie zmiennej losowej.. Rozkład ten w praktycznych badaniach nie jest zwykle znany.. odchylenie standardowe w populacji.. , które jest liczbą dającą się obliczyć dokładnie, jeśli znane byłyby wartości zmiennej dla wszystkich obiektów.. populacji.. ; odpowiada odchyleniu zmiennej losowej, której rozkład jest identyczny z rozkładem w populacji.. odchylenie standardowe z próby.. , które jest oszacowaniem odchylenia standardowego w populacji na podstawie znajomości wyłącznie części jej obiektów, czyli właśnie tzw.. próby losowej.. Stosowane do tego celu wzory nazywane są.. estymatorami.. odchylenia standardowego.. Odchylenie standardowe zmiennej losowej.. Zmienna losowa dyskretna.. Zmienna losowa ciągła.. Odchylenie standardowe w populacji.. Odchylenie standardowe z próby.. Pierwiastek estymatora nieobciążonego wariancji.. Estymator nieobciążony.. Estymator największej wiarygodności.. Przykład.. Odchylenie standardowe z próby podzielonej na grupy.. Szeregi czasowe.. Interpretacja.. Odchylenie a obserwacje dalekie od średniej.. Dla rozkładu normalnego.. Dla dowolnych rozkładów.. Interpretacja geometryczna.. Właściwości.. Skala pomiarowa.. Jednostka miary.. Zakres.. Odchylenie sumy i różnicy.. Działania arytmetyczne zmiennej losowej ze stałą.. Odchylenie średniej.. Wrażliwość na błędy obserwacji.. Alternatywy dla odchylenia standardowego.. Metody rangowe.. Ważone odchylenie standardowe.. Średnie odchylenie bezwzględne.. Odchylenie standardowe zmiennej losowej oznacza się tradycyjnie przez σ (małe.. greckie.. sigma.. ) i definiuje jako.. pierwiastek kwadratowy.. Jest ono dane wzorem:.. (1).. wartością oczekiwaną.. (dowód w przypisie.. dyskretnej zmiennej losowej.. , przyjmującej.. różnych wartości.. z prawdopodobieństwami odpowiednio.. odchylenie standardowe można obliczyć ze wzoru:.. zmiennych ciągłych.. funkcją gęstości prawdopodobieństwa.. Odchylenie standardowe można zdefiniować dla niemal każdego rozkładu prawdopodobieństwa.. Istnieją jednak rozkłady (np.. rozkład Cauchy'ego.. ), dla których jest ono nieskończone lub nie istnieje.. rozkładu normalnego.. , odchylenie posiada oczywistą interpretację, gdyż jest jednym z parametrów rozkładu, występuje jako.. we wzorze na gęstość prawdopodobieństwa w tym rozkładzie:.. W przypadku innych rozkładów, choć zwykle można podać ścisły wzór wiążący parametry rozkładu z odchyleniem, interpretacja jego wartości jest już znacznie mniej naturalna, o ile w ogóle możliwa.. Dla zmiennych o.. rozkładach mieszanych.. dyskretno-ciągłych można zastosować wzór.. Dla skończonych populacji odchylenie jest.. średnią kwadratową.. z różnic między wartościami zmiennej a ich.. średnią arytmetyczną.. Odchylenie standardowe można obliczyć ze wzoru:.. (2).. to kolejne wartości cechy w populacji,.. to wartość oczekiwana,.. to liczba obserwacji w populacji (dowód drugiej równości w przypisie.. Uwaga:.. druga równość zachodzi tylko dla skończonej populacji, nie jest prawdziwa w przypadku odchylenia standardowego z próby, gdzie zamiast.. trzeba wziąć.. Dla populacji z.. mamy.. , więc.. Odchylenie standardowe w populacji można estymować (przybliżać) odchyleniem standardowym z próby, oznaczanym przez.. Ponieważ próba niesie informację tylko o części obserwacji z populacji, wynik ten nigdy nie jest dokładny.. Wszystkie podane niżej wzory są przybliżeniami, pozwalającymi oszacować odchylenie standardowe zmiennej losowej w populacji (w przypadku.. jest to również.. parametr.. rozkładu σ) na podstawie wartości z próby.. Różnice we wzorach biorą się z innych założeń co do pożądanych ich właściwości.. Najczęściej używany.. estymator.. odchylenia standardowego (.. błędnie.. nazywany estymatorem nieobciążonym.. , o czym mowa dalej) ma postać.. (3).. to kolejne wartości danej zmiennej losowej w próbie,.. średnia arytmetyczna.. z próby,.. to średnia arytmetyczna kwadratów wartości z próby.. to liczba elementów w próbie.. Zaletą tego estymatora jest prostota wzoru, bezpośredni związek z estymatorem nieobciążonym wariancji i relatywnie niewielkie błędy estymacji.. Dokładniejszy jest estymator nieobciążony odchylenia (podany dalej), jest jednak trudniejszy w obliczaniu i w związku z tym bardzo rzadko stosowany.. W mianowniku wzoru.. występuje.. Wydaje się zupełnie nieintuicyjne, że w przypadku populacji powinno się używać wzoru.. w mianowniku, a dla próby wzoru z.. Te dwa przypadki różnią się jednak bardzo istotną rzeczą: w przypadku całej populacji znamy dokładną wartość średniej.. , używanej we wzorze.. W przypadku próby trzeba ją dodatkowo przybliżać średnią z próby.. Załóżmy, że próba wylosowała się akurat w ten sposób, że w którymś miejscu byłoby drobne zagęszczenie obserwacji w próbce w stosunku do gęstości w całej populacji.. Spowoduje to przesunięcie średniej z próby.. w stronę tego zagęszczenia.. Można udowodnić, że suma postaci.. (czyli taka jak licznik wzorów na odchylenie standardowe) jest najmniejsza gdy.. , więc na skutek tego przesunięcia się średniej w próbce od.. odchylenie zmniejsza się.. To zmniejszenie licznika jest kompensowane przez mniejszą wartość mianownika (.. Szczegółowe wyprowadzenie znajduje się w przypisie.. odchylenia standardowego ma tę własność, że gdyby wielokrotnie losować próbę z tej samej populacji i za każdym razem wyliczać odchylenie w próbie i uśredniać otrzymane wartości odchyleń, to wynik dążyłby do prawdziwej wartości odchylenia w populacji.. Statystyka.. jest często nazywana.. estymatorem nieobciążonym.. odchylenia standardowego, jednak.. nie jest.. to prawda.. To.. jest estymatorem nieobciążonym.. , przy założeniu niezależnego.. losowania ze zwracaniem.. elementów próby oraz istnienia skończonej wariancji.. Estymator.. daje w większości przypadków zaniżone wyniki w porównaniu z estymowaną wielkością, różnica ta jednak dąży do zera wraz ze wzrostem liczebności próby, można więc powiedzieć, że jest asymptotycznie nieobciążony.. Czynnik c4.. Estymator nieobciążony odchylenia standardowego, przy założeniu rozkładu normalnego populacji, dostanie się dzieląc wartość.. obliczoną według wzoru.. przez wielkość.. (4).. gdzie Γ to.. funkcja gamma.. Wartości.. szybko zbiegają do 1 wraz ze wzrostem.. (patrz tabela w.. ), korekta jest więc konieczna tylko w przypadku niewielkich prób.. i potrzeby bardzo dokładnych wyliczeń.. Ze względu na trudności obliczeniowe rzadko dokonuje się tej korekty, stosowana jest niemalże jedynie w.. statystycznej kontroli jakości.. i w teorii statystyki.. W przypadku gdy rozkład nie jest normalny, powyższy estymator może być (i zwykle jest) obciążony.. Estymator nieobciążony w niektórych przypadkach nie istnieje.. Współczynnik.. występuje jeszcze w jednym wzorze — na odchylenie standardowe estymatora odchylenia standardowego.. podanego powyżej, również przy założeniu rozkładu normalnego populacji:.. (5).. jest oparty na innym rozumowaniu: Spośród wszystkich rozkładów normalnych postaci.. , czyli posiadających tę samą średnią, co dana próba, ale różne odchylenia, estymator największej wiarygodności podaje taką wartość odchylenia.. , dla której najbardziej prawdopodobne byłoby wylosowanie właśnie takich wyników.. do próby jakie faktycznie w niej wystąpiły.. "Największa wiarygodność" dotyczy zatem nie tyle jego wyników, co raczej próby, która przy takim właśnie odchyleniu w populacji byłaby najbardziej prawdopodobna jako jej losowa reprezentacja.. Estymator ten jest jednak obciążony.. (6).. Estymator największej wiarygodności stosuje się w zasadzie z kilku powodów:.. ze względu na łatwe przedstawienie w postaci średniej.. i średniej kwadratów.. wzór na estymator największej wiarygodności pokrywa się ze wzorem na odchylenie standardowe w populacji, co pozwala nie przejmować się rozróżnieniem między próbą a populacją.. najczęstszy, choć niechlubny powód: estymator ten daje najmniejsze wartości odchylenia z wymienionych, przydaje się więc, gdy niewielkie wartości są wskazane dla udowodnienia tezy, którą dane obliczenia mają wspierać.. Istnieje jeszcze jedna popularna metoda wyprowadzania estymatorów – tzw.. metoda momentów.. Daje ona w przypadku odchylenia standardowego ten sam wzór.. Estymator największej wiarygodności jest także asymptotycznie nieobciążony, podobnie jak pierwiastek estymatora nieobciążonego wariancji (wzór 3).. Przykład pokazuje oszacowanie odchylenia standardowego w populacji za pomocą nieobciążonego estymatora.. Próbą będzie wiek czworga dzieci, wyrażony w latach: { 5, 6, 8, 9 }.. Krok 1.. Obliczenie.. ponieważ są cztery obserwacje:.. Podstawienie 4 zamiast.. Krok 2.. Obliczenie przybliżenia odchylenia  ...   niezależne od rozkładu zmiennej.. Odchylenie standardowe jest zawsze liczbą nieujemną.. Wartość zero ma wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie obserwacje mają tę samą wartość.. Odchylenie standardowe w skończonej populacji lub próbce jest zawsze skończone.. Również dla każdego rozkładu odchylenie standardowe sumy lub różnicy dwóch zmiennych losowych jest równe:.. współczynnik korelacji Pearsona.. między zmiennymi.. Ogólnie dla.. zmiennych losowych:.. kowariancja.. W szczególności dla dwóch.. niezależnych zmiennych losowych.. A dla.. niezależnych zmiennych losowych o tym samym odchyleniu.. Jeśli wartości zmiennej losowej o dowolnym rozkładzie zostaną pomnożone lub podzielone przez.. rzeczywistą.. stałą.. , odchylenie standardowe odpowiednio pomnoży lub podzieli się przez.. wartość bezwzględną.. tej stałej:.. Różnica względem wzoru z poprzedniej sekcji wynika stąd, że teraz (dla naturalnego.. ) zmienna.. jest dodawana wielokrotnie do niej samej, co odpowiada dodawaniu zmiennych.. zależnych.. i skorelowanych na poziomie +1, a poprzednio było dodawane.. zmiennych.. niezależnych.. Dodawanie i odejmowanie stałej nie zmienia wartości odchylenia standardowego:.. Z powyższych wzorów na odchylenie sumy.. niezależnych zmiennych losowych i iloczynu przez stałą wynika praktyczny estymator błędu oszacowania średniej na podstawie próby.. Estymator ten zakłada rozkład normalny średniej, jednak przy uśrednianiu dużej.. liczby obserwacji rozkład średniej zawsze dąży do normalnego (tzw.. centralne twierdzenie graniczne.. ), przy dużej.. liczbie obserwacji można więc stosować ten wzór dla dowolnych rozkładów.. Wzór na średnią w populacji:.. Można potraktować realizacje.. jako zmienne losowe o identycznym rozkładzie.. Jeśli dodatkowo zmienne te są niezależne (co nie zawsze musi być prawdą, jeśli na przykład jeden pomiar wpływa na następny), wówczas odchylenie średniej:.. Ponieważ dla każdego.. , więc:.. Szacując.. za pomocą przybliżenia estymatora nieobciążonego.. , dostaje się przybliżenie nieobciążonego estymatora odchylenia standardowego średniej:.. Estymatory odchylenia standardowego nie zakładają rozkładu normalnego w populacji.. Co prawda "estymator nieobciążony" przy innych rozkładach może posiadać obciążenie, ale nadal można go stosować.. W przypadku rozkładu normalnego wyniki mają jednak jasną interpretację, gdyż przekładają się bezpośrednio na prawdopodobieństwo znalezienia obserwacji w określonym oddaleniu od średniej.. Dla rozkładów różnych od normalnego prawdopodobieństwo to jest inne, dla bardzo.. zaburzonych rozkładów z próby odchylenie nic nam o tym prawdpodobieństwie nie powie.. W szczególności obecność.. obserwacji odstających.. , czyli wartości w próbce bardzo.. oddalonych od średniej może spowodować powstanie dużych błędów.. Dla najpopularniejszego estymatora.. Obliczmy jaki wpływ na błąd końcowego wyniku ma błąd pojedynczej obserwacji.. W tym celu sprawdzimy, jak zmieni się wartość estymacji kiedy do jednej obserwacji dodamy bardzo małą liczbę.. Odpowiada to obliczeniu.. pochodnej cząstkowej.. czyli po skróceniu wpływ błędu pojedynczej obserwacji na błąd estymacji wynosi:.. Ze wzoru tego wypływa kilka wniosków:.. Wpływ błędów wprowadzanych przez pojedynczą obserwację na błąd estymacji jest tym większy, im bardziej dana obserwacja jest oddalona od średniej.. Wpływ błędów pojedynczej obserwacji zmniejsza się, gdy rośnie liczba elementów próby.. W skrajnych sytuacjach jedna.. obserwacja odstająca.. ekstremalnie od średniej może zdominować cały wynik.. Przykładowo, gdy.. , wówczas.. i dowolny błąd w obserwacji.. propaguje się na identyczny błąd w wyniku estymacji.. Nie należy zatem bezkrytycznie stosować odchylenia standardowego jako miary zmienności dla rozkładów z obserwacjami odstającymi lub bardzo.. odbiegających od rozkładu normalnego.. Wyniki mogą nie mieć wtedy żadnej sensownej interpretacji w praktyce.. W przypadku bardzo.. zaburzonych rozkładów z obserwacjami odstającymi lepiej zastosować.. metody nieparametryczne.. Miary nieparametryczne dają mniej dokładne wyniki w przypadku niezaburzonego rozkładu normalnego, jednak lepsze w przypadku bardzo zaburzonych danych.. Najczęściej jest tutaj stosowany.. rozstęp ćwiartkowy.. (rozstęp kwartylny), czyli różnica pomiędzy trzecim i pierwszym.. kwartylem.. z próby.. Pierwszy kwartyl to liczba, poniżej której znajduje się 25% obserwacji.. Trzeci kwartyl to liczba powyżej której jest 25% obserwacji.. Pomiędzy nimi znajduje się 50% obserwacji.. Połowa rozstępu ćwiartkowego to tzw.. odchylenie ćwiartkowe.. Miary te są niezależne od rozkładu, dzięki czemu zachowują swoją interpretację w sytuacjach, gdy odchylenie standardowe staje się nieprzydatne.. Istnieje też wersja odchylenia standardowego, w której poszczególne obserwacje brane są z różnymi wagami.. Odpowiednikiem wzoru.. jest wówczas:.. przy czym wagi muszą być znormalizowane do 1:.. Ważone odchylenie standardowe jest najczęściej wykorzystywane do zmniejszenia wrażliwości odchylenia standardowego na obserwacje odstające, co jest osiągane przez nadanie mniejszych wag obserwacjom dalekim od średniej.. Jeszcze innym podejściem jest obliczanie.. średniego odchylenia bezwzględnego.. , czyli wartości:.. Miara ta ma tę zaletę, iż błąd każdej obserwacji wchodzi do wyniku z tą samą wagą, jest zatem bardziej.. odporna.. na obserwacje odstające.. współczynnik zmienności.. miara rozkładu.. sześć sigma.. względne odchylenie standardowe.. Ściślej: wokół.. wartości oczekiwanej.. Pierwszy raz użyto w:.. Karl Pearson.. Contributions to the Mathematical Theory of Evolution.. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 1894.. Ser.. A, 185, 71-110.. (praca dostępna.. tutaj.. ) Na stronie 80 Pearson napisał.. "Then σ will be termed its standard-deviation (error of mean square)".. Kiedy.. Ronald Fisher.. wprowadzał.. w 1918, nie wymyślał już nowego symbolu, lecz użył.. przy założeniu, że w ogóle odchylenie standardowe dla danego rozkładu istnieje, gdyż zdarzają się (w teorii statystyki) rozkłady, dla których odpowiedni wzór nie jest całkowalny, oraz takie, dla których odchylenie jest nieskończone.. Dowód drugiej równości.. ale dla populacji.. (nie jest to już prawda dla próby) więc:.. jest nieobciążony asymptotycznie, o czym mowa dalej, jednak "estymator nieobciążony asymptotycznie" i "estymator nieobciążony" to dwa różne pojęcia.. Nie każdy estymator nieobciążony asymptotycznie jest estymatorem nieobciążonym i ten akurat nie jest.. Istnieją też inne estymatory nieobciążone asymptotycznie odchylenia standardowego.. Wyprowadzenie drugiej części wzoru.. Estymator wariancji z.. w mianowniku:.. Wartość oczekiwana tego estymatora:.. Po odjęciu i dodaniu.. Ze wzoru na kwadrat sumy:.. Drugi składnik:.. Stąd:.. Jednak:.. (z definicji).. (gdyż.. A więc:.. i:.. A więc wzór z.. w mianowniku jest nieobciążonym estymatorem wariancji.. en:Unbiased estimation of standard deviation.. Wzór na.. wynika z.. twierdzenia Cochrana.. Zgodnie z nim.. ma.. rozkład chi.. stopniami swobody.. 11,2.. 11,3.. 11,4.. 11,5.. 11,6.. 11,7.. W tym artykule, jak w wielu miejscach w statystyce pojawiają się określenia "duża próba", "rozkład zbliżony do normalnego" itp.. Nie są to określenie ścisłe i być nie mogą.. Zwykle mówi się w ten sposób, że pewna własność jest spełniona z tym mniejszym błędem im próba jest większa lub rozkład bardziej zbliżony do normalnego.. Statystyka jest nauką ścisłą w tym sensie, że przy spełnionych ściśle założeniach istnieje gwarancja używania najdokładniejszych wzorów.. Ponieważ jednak założenia nigdy ściśle spełnione nie są, więc właściwy dobór metod jest swego rodzaju sztuką, nie dającą się ściśle sformalizować.. Niektórzy ze względów praktycznych zakładają, że "duża próba" ma np.. co najmniej 50 obserwacji.. Nie ma to jednak żadnych podstaw merytorycznych – ten próg zależy zwykle nie tylko od wielkości próby, ale i od dopuszczalnego błędu i od kształtu rozkładu.. Dla jednych prób wystarczy 20 obserwacji, żeby dany wzór można było z sensem stosować, dla innych trzeba 2000.. Dowód dwukrotnie wykorzystuje.. nierówność Jensena.. 13,0.. 13,1.. W praktyce ta definicja wymaga pewnego uściślenia, zobacz.. kwantyl.. Devroye:.. A Course in Density Estimation.. Birkhäuser, 1987.. Jacek Koronacki, Jan Mielniczuk:.. Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych.. WNT.. , 2006.. ISBN 83-204-3242-1.. J.. Krzanowski:.. Principles of Multivariate Analysis.. Nowy Jork:.. Oxford University Press.. , 2003, seria: Oxford Statistical Science.. ISBN 0-19-850708-9.. Adam Łomnicki:.. Wprowadzenie do statystyki dla przyrodników.. Wydawnictwo Naukowe PWN.. , 2005.. ISBN 83-01-13979-X.. Jan Oderfeld.. Elżbieta Pleszczyńska.. Liniowa estymacja średniego odchylenia w populacji normalnej.. Instytut Matematyczny PAN.. , 1961.. Zastosow.. Mat.. VI, 111-117.. Wawrzynek:.. Metody opisu i wnioskowania statystycznego.. Wrocław: Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej im.. Oskara Langego we Wrocławiu, 2007, s.. 34.. ISBN 978-83-7011-859-4.. php?title=Odchylenie_standardowe oldid=40315633.. Miary zróżnicowania rozkładu.. Tę stronę ostatnio zmodyfikowano o 08:12, 2 wrz 2014..

    Original link path: /wiki/Odchylenie_standardowe
    Open archive

  • Title: Przestrzeń sprzężona (analiza funkcjonalna) – Wikipedia, wolna encyklopedia
    Descriptive info: Przestrzeń sprzężona (analiza funkcjonalna).. Przestrzeń sprzężona.. (także.. dualna.. dwoista.. ) – w.. analizie funkcjonalnej.. przestrzeń wszystkich.. ciągłych.. funkcjonałów liniowych.. określonych na danej.. przestrzeni unormowanej.. lub, nieco ogólniej,.. przestrzeni liniowo-topologicznej.. Przestrzeń sprzężoną do przestrzeni.. oznacza się często.. Parę.. parą dualną.. Współczesna terminologia pochodzi od.. Bourbakiego.. W przeszłości były też używane nazwy:.. polarer Raum.. , dosł.. przestrzeń polarna/biegunowa) –.. Hans Hahn.. transponierter Raum.. przestrzeń transponowana) /.. espace conjugué.. przestrzeń dołączona) –.. Juliusz Schauder.. adjoint space.. Leonidas Alaoglu.. W kontekście analizy funkcjonalnej dla odróżnienia od.. przestrzeni sprzężonej algebraicznie.. , w której nie zakłada się ciągłości funkcjonałów, mówi się czasami o.. przestrzeni sprzężonej topologicznie.. W skrajnych przypadkach przestrzeń sprzężona algebraicznie może mieć.. bogatą.. strukturę.. , podczas gdy sprzężona topologicznie może być.. trywialna.. W klasie.. przestrzeni skończenie wymiarowych.. oba pojęcia pokrywają się.. Wyniki ogólnej teorii przestrzeni sprzężonych znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach matematyki, np.. równaniach różniczkowych.. całkowych.. teorii aproksymacji.. teoria dystrybucji.. zrodzona z potrzeb fizyki, zbudowana jest w oparciu o funkcjonały liniowe i ciągłe na pewnej przestrzeni liniowo-topologicznej (tzw.. przestrzeni funkcji próbnych.. Przestrzeń sprzężona do przestrzeni unormowanej.. Topologie w przestrzeni sprzężonej.. Ograniczona topologia *-słaba.. Twierdzenie Kreina-Šmuliana.. Przestrzenie Banacha o wspólnej przestrzeni sprzężonej.. Reprezentacje elementów.. Przestrzenie Hilberta.. Przestrzenie funkcji ciągłych.. Twierdzenie Riesza.. Twierdzenie Riesza dla przestrzeni.. Przestrzeń sprzężona do przestrzeni ciągów ograniczonych.. Przestrzenie Sobolewa.. Przestrzeń sprzężona do przestrzeni sprzężonej.. Refleksywność a własność Radona-Nikodyma przestrzeni sprzężonej.. Przypisy rzeczowe.. przestrzenią liniowo-topologiczną.. nad ciałem.. liczb rzeczywistych lub zespolonych.. przestrzenią sprzężoną.. Przestrzeń sprzężona jest.. z działaniami określonymi punktowo, to znaczy jeśli.. jest skalarem, to.. W przypadku, gdy nie zakłada się o.. nic ponad bycie przestrzenią liniowo-topologiczną, jej przestrzeń sprzężona może być trywialna, tzn.. może być złożona tylko z odwzorowania tożsamościowo równego zeru.. Przykładem może być przestrzeń.. Innym przykładem mogą być.. przestrzenie Hardy'ego.. Postać przestrzeni sprzężonej do danej przestrzeni liniowo-topologicznej jest ściśle związana z.. ilością.. zbiorów wypukłych.. w samej przestrzeni.. Następujące fakty (w tym pewien wniosek z.. twierdzenia Hahna-Banacha.. ) wiążą.. z wypukłymi podzbiorami.. Funkcjonały Minkowskiego.. podliniowe.. podaddytywne.. dodatnio jednorodne.. Funkcjonały.. zbalansowanych.. zbiorów Minkowskego są.. półnormami.. Wniosek z twierdzenia Hahna-Banacha: Jeżeli.. jest rzeczywistą lub zespoloną przestrzenią liniową, a.. półnormą na tej przestrzeni, to dla każdego punktu.. istnieje taki funkcjonał liniowy.. na przestrzeni.. , że.. Zbalansowanym.. zbiorom wypukłym odpowiadają funkcjonały liniowe.. Oznacza to w szczególności, że.. przestrzenie liniowo-topologiczne lokalnie wypukłe.. (a więc i.. ) mają nietrywialne przestrzenie sprzężone.. Zwyczajowo funkcjonały traktuje się jako punkty przestrzeni sprzężonej, co znajduje odzwierciedlenie ich zapisie: analogicznie do.. pisze się często.. Dodatkowo, ze względu na ich.. liniowość.. , pomija się zwykle nawiasy przy argumentach, zatem zamiast.. pisze się po prostu.. W dalszej części artykułu stosowane będą oznaczenia „z gwiazdką”.. W dalszej części artykułu.. oznaczać będzie nietrywialną przestrzeń unormowaną nad ciałem.. W przestrzeni.. można w naturalny sposób wprowadzić.. : jest nią funkcjonał.. O ile nie prowadzi to do nieporozumień, normę w przestrzeni.. często oznacza się tym samym symbolem, co normę w.. W przeciwnym przypadku przy jej symbolu umieszcza się w indeksie dolnym oznaczenie przestrzeni, w której rozpatrywana jest norma, np.. Ciała liczb rzeczywistych i zespolonych z naturalną.. metryką modułową.. przestrzeniami metrycznymi zupełnymi.. Na mocy.. twierdzenia Banacha-Steinhausa.. , przestrzeń.. przestrzenią Banacha.. (bez względu na to, czy jest nią.. przestrzenią ośrodkową.. , to istnieje zbiór przeliczalny.. , zawarty w.. kuli jednostkowej.. taki, że.. jest przestrzenią ośrodkową, to.. też nią jest.. Twierdzenie odwrotne jest fałszywe, mianowicie przestrzenią sprzężoną do (ośrodkowej) przestrzeni.. jest przestrzeń.. , która nie jest ośrodkowa.. jest topologią w przestrzeni liniowo-topologicznej.. , to symbolem.. oznacza się.. słabą topologię.. , to znaczy najsłabszą topologię, względem której wszystkie odwzorowania z.. są ciągłe.. można rozważać również.. topologię *-słabą.. , to znaczy najsłabszą topologię, względem której każde z odwzorowań.. postaci.. jest ciągłe.. z topologią *-słabą jest przestrzenią lokalnie wypukłą.. Podsumowując, jeżeli.. jest przestrzenią unormowaną, to w przestrzeni.. można wprowadzić co najmniej trzy różne topologie:.. mocną.. topologię.. , czyli topologię wyznaczoną przez normę w.. słabą.. *-słabą.. Zachodzi między nimi następujący związek:.. przy czym.. wtedy i tylko wtedy, gdy.. przestrzenią refleksywną.. (czyli gdy.. jest przestrzenią refleksywną).. Równość ta jest konsekwencją jednego z fundamentalnych twierdzeń analizy funkcjonalnej – tzw.. twierdzenia Banacha-Alaoglu.. Równość topologii *-słabej i mocnej zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy.. jest skończenie wymiarowa.. będzie przestrzenią Banacha.. Podzbiór przestrzeni.. jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest *-słabo ograniczony.. jest przestrzenią Banacha, to *-słabo zwarte podzbiory.. są ograniczone.. jest przestrzenią nieskończenie wymiarową, to każdy niepusty *-słabo otwarty podzbiór.. jest nieograniczony.. Co więcej, każde *-słabe (otwarte) otoczenie zera zawiera nieskończenie wymiarową.. podprzestrzeń liniową.. Topologia *-słaba jest.. metryzowalna.. Istnieje jeszcze jeden, w pewien sposób naturalny, rodzaj topologii wprowadzanej w przestrzeni.. – tzw.. ograniczona topologia *-słaba.. zdefiniowana w roku.. 1950.. Jeana Dieudonné.. Niech dla każdego.. oraz dla każdego ciągu.. punktów przestrzeni.. zbieżnego (w normie) do zera będzie dany zbiór.. Rodzina zbiorów tej postaci tworzy.. bazę.. pewnej topologii w przestrzeni.. , którą nazywa się.. ograniczoną topologią *-słabą.. Przestrzeń.. z tą topologią jest przestrzenią lokalnie wypukłą.. Jeżeli symbol.. oznaczać będzie ograniczoną topologię *-słabą, to między wspomnianymi wcześniej topologiami zachodzi następujący związek:.. Ograniczona topologia *-słaba oraz topologia *-słaba pokrywają się (w sensie topologii podprzestrzeni) na ograniczonych podzbiorach.. Własność ta uzasadnia nazwę tego pojęcia.. Natychmiastowym wnioskiem z tej obserwacji jest fakt, iż jeśli.. jest ograniczonym ciągiem punktów.. , to jest on zbieżny w sensie ograniczonej topologii *-słabej do pewnego punktu.. tej przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy jest *-słabo zbieżny do.. Mimo, iż.. z topologią normy jest przestrzenią Banacha, to jednak poniższe twierdzenie dość dobrze ilustruje związek zupełności przestrzeni.. z topologią *-słabą jej przestrzeni sprzężonej:.. jest przestrzenią Banacha, to topologie: *-słaba i ograniczona *-słaba pokrywają się, to znaczy.. Prawdziwe, jest też twierdzenie odwrotne, które można sformułować nieco inaczej:.. jest przestrzenią unormowaną, która nie jest przestrzenią Banacha, to.. twierdzenie Banacha-Kreina-Šmuliana.. Przy okazji omawiania (ograniczonej) *-słabej topologii w przestrzeni sprzężonej wartym odnotowania jest  ...   borelowskich na.. W przypadku przestrzeni.. można uogólnić powyższą metodę szukania opisu.. zastępując uzwarcenie Čecha-Stone'a przestrzeni.. przestrzenią Stone'a.. algebry miary.. , to znaczy przestrzeni Stone'a.. ilorazowej algebry Boole'a.. -miary zero zbioru.. można utożsamiać z przestrzenią regularnych, zespolonych miar borelowskich na.. przestrzeń Sobolewa.. Przestrzeń sprzężona do.. przestrzeni Sobolewa.. jest izometrycznie izomorficzna z podprzestrzenią przestrzeni.. dystrybucji.. o pewnych własnościach (podprzestrzeń ta jest wyposażona w normę związaną z normą w przestrzeni Sobolewa – przestrzeń dystrybucji nie jest przestrzenią normowalną).. będzie otwartym podzbiorem przestrzeni.. Dodatkowo niech.. oznacza liczbę wszystkich wielowskaźników o długości (sumie) nie większej od.. , czyli niech.. produktem.. egzemplarzy przestrzeni.. Przestrzeń ta jest przestrzenią Banacha z normą.. jest izometrycznie izomorficzna z podprzestrzenią.. dystrybucji.. wykładnikiem sprzężonym.. Ponadto,.. gdzie kres brany jest po wszystkich.. , dla których.. można przedstawić w powyższej postaci.. Istnieje jeszcze jeden sposób charakteryzacji przestrzeni.. Mianowicie, przestrzeń.. można utożsamiać z uzupełnieniem przestrzeni.. wyposażonej w normę.. jest wykładnikiem sprzężonym do.. przestrzeń refleksywna.. Ponieważ przestrzeń.. sama w sobie jest przestrzenią unormowaną (a więc przestrzenią liniowo-topologiczną, jeśli rozważać w niej inne naturalne topologie), to można rozważać przestrzeń do niej sprzężoną.. , oznaczaną dalej symbolem.. Dodatkowo oznacza się.. gdzie liczby w nawiasie oznaczają.. liczbę gwiazdek.. Własności przestrzeni.. mają szczególne znaczenie podczas badania przestrzeni unormowanych.. Odwzorowanie.. dane wzorem.. nazywane jest.. kanonicznym zanurzeniem przestrzeni.. w przestrzeń.. W związku z tym, iż odwzorowanie.. różnowartościowe.. , wygodnie jest czasem dokonywać utożsamienia.. z podprzestrzenią.. Klasyczne.. twierdzenie Goldstine'a.. mówi, że obraz kuli jednostkowej poprzez odwzorowanie.. podzbiorem kuli jednostkowej w.. w tzw.. -topologii, tzn.. topologii *-słabej w przestrzeni.. Przestrzenie unormowane takie, że.. nazywane są.. przestrzeniami refleksywnymi.. (oczywiście, każda przestrzeń refleksywna jest przestrzenią Banacha jako przestrzeń liniowo.. homeomorficzna.. z przestrzenią Banacha.. Przestrzenie refleksywne stanowią ważną klasę przestrzeni Banacha ze względu na ich.. dobre.. własności.. Twierdzenie Phillipsa.. mówi, że każda przestrzeń refleksywna ma.. własność Radona-Nikodyma.. Istnieje ścisła zależność między refleksywnością przestrzeni sprzężonej.. (a więc w konsekwencji przestrzeni.. ) a posiadaniem przez nią własności Radona-Nikodyma.. Zależność tę ilustruje poniższa tabela:.. jest refleksywna jeśli:.. ma własność Radona-Nikodyma jeśli:.. ściśle wypukła.. jest gładka (.. smooth.. jest ściśle wypukła.. słabo lokalnie jednostajnie wypukła.. jest gładka.. jest silnie gładka (ang.. very smooth.. jednostajnie wypukła.. jest silnie gładka.. gdzie przestrzeń.. nazywana jest.. gładką.. , gdy dla każdego takiego elementu.. istnieje dokładnie jeden taki element.. silnie gładką.. , gdy jest ona gładka oraz odwzorowanie.. takie jak w powyższej definicji jest jest ciągłe w sensie.. słabej topologii.. przestrzeń liniowa.. (jest to równoważne.. aksjomatowi wyboru.. Twierdzenie o przekształceniu liniowym zadanym na bazie.. mówi, że jeśli dana jest ustalona baza przestrzeni oraz jakkolwiek określona na niej funkcja o wartościach skalarnych, to można ją przedłużyć w sposób jednoznaczny do funkcjonału liniowego.. Nicolas Bourbaki.. Sur les espaces de Banach.. „Comptes Rendus de l'Académie des Sciences”.. 206, s.. 1701–1704, 1938.. Paryż.. Über lineare Gleichungssysteme in linearen Räumen.. „Journal für die reine und angewandte Mathematik”.. 157, s.. 214-229, 1927.. Über lineare, vollstetige Funktionaloperationen.. Studia Mathematica.. 2, s.. 183–196, 1930.. Polskie Towarzystwo Matematyczne.. Weak topologies of normed linear spaces.. „Annals of Mathematics”.. 41, s.. 252–267, 1940.. Princeton.. Joel H.. Shapiro.. Examples of proper, closed, weakly dense subspaces in nonlocally convex.. -spaces.. „Israel Journal of Mathematics”.. 7, s.. 369-380, 1969.. Hebrew University Magnes Press.. [dostęp 14.. 07.. 09].. Nigel J.. Kalton, Joel H.. An.. -space with trivial dual and nontrivial compact endomorphisms.. 20, s.. 282-291, 1975.. Hermann Minkowski.. Allgemeine Lehrsätze über die konvexe Polyeder.. „Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse”, s.. 198-219, 1897.. Göttingen.. Dieudonne:.. Natural Homomorphisms in Banach Space.. Proc.. of the.. Amer.. Math.. Soc.. , vol.. No.. 1 (1950).. Mark Krein.. , Witold Lwowicz Šmulian.. On regularly convex sets in the space conjugate to a Banach space.. 556–583, 1940.. [dostęp 12 lipca 2009].. Argyros, R.. Haydon, A hereditarily indecomposable.. -space that solves the scalar-plus-compact problem.. Acta Mathematica.. 206.. (2011), 1–54.. James, A separable somewhat reflexive Banach space with nonsepa- rable dual,.. Bull.. 80.. (1974), 738-743.. William Arveson:.. NOTES ON MEASURE AND INTEGRATION IN LOCALLY COMPACT SPACES.. Department of Mathematics, University of California, Berkeley, USA, 25 marca 1996.. [dostęp 11 lipca 2009].. Frigyes Riesz.. Sur les opérations fonctionnelles linéaires.. , C.. R.. Acad.. Sci.. Paris 149, 974–977.. Sur certains systémes singuliers d’équations intégrales.. , Ann.. Ècole Norm.. Sup.. (3) 28, 33–62.. Johann Radon:.. Theorie und Anwendungen der Theorie der absolut additiven Mengenfunktionen.. , Sitzungsber.. Kaiserl.. (Österreich.. ) Akad.. Wiss.. , Math.. -Nat.. Kl.. , Abteilung IIa, 122, 1295–1438.. : The Lebesgue integral in abstract spaces.. Stanisław Saks.. Theory of the Integral.. Warszawa: 1937, s.. 320–330.. On mean values and exterior densities.. , Mat.. Sbornik 4, 165–190.. Alexandroff:.. Additive set-functions in abstract spaces, Mat.. Sbornik 8, 307–348; 9, 563–628; 13, 169–238.. Shizuo Kakutani:.. Concrete representation of abstract (L)-spaces and the mean ergodic theorem.. of Math.. 42, 523–537.. Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen.. , Math.. Ann.. 69, 449–497.. Additive und stetige Funktionaloperationen.. Z.. 5, 186–221.. Herman Goldstine.. Weakly complete Banach spaces.. , Duke Math.. 4 (1938), 125–131.. Diestel, B.. Faires,.. On vector measures.. Transactions of the American Mathematical Society.. 198 (1974), 253-271.. Robert R.. Adams:.. Sobolev Spaces.. Acadamiec Press, 1975.. ISBN 0120441500.. Fernando Albiac, Nigel J.. Kalton:.. Topics in Banach Space Theory.. Springer-Verlag GmbH, 2006.. ISBN 9780387281414.. Joseph Diestel, Jerry Uhl:.. Vector Measures.. Providence, Rhode Island: World Scientific Pub Co Inc.. , 2002.. ISBN 978-0821815151.. Robert E.. Megginson:.. An Introduction to Banach Space Theory.. Springer, 1998.. ISBN 978-0-387-98431-5.. Julian Musielak.. Jak powstawała analiza funkcjonalna.. Wiadomości Matematyczne.. 43, 2007.. Warszawa.. ISSN.. 0373-8302.. pol.. Wstęp do analizy funkcjonalnej.. Warszawa: PWN, 1989.. Albrecht Pietsch:.. History of Banach Spaces and Linear Operators.. Birkhäuser, 2007.. ISBN 978-0-8176-4367-6.. Walter Rudin.. Analiza funkcjonalna.. Warszawa: PWN, 2009.. ISBN 978-83-01-15802-6.. Laurent Schwartz.. Théorie des distributions.. Hermann, 1950.. php?title=Przestrzeń_sprzężona_(analiza_funkcjonalna) oldid=34639210.. Tę stronę ostatnio zmodyfikowano o 18:08, 6 lut 2013..

    Original link path: /wiki/Przestrze%C5%84_sprz%C4%99%C5%BCona_%28analiza_funkcjonalna%29
    Open archive

  • Title: Topologia – Wikipedia, wolna encyklopedia
    Descriptive info: Topologia.. Ten artykuł dotyczy działu matematyki.. Papierowy model.. wstęgi Möbiusa.. tópos.. – miejsce, okolica;.. lógos.. – słowo, nauka) – dział.. współczesnej zajmujący się badaniem własności.. figur geometrycznych.. brył.. , które nie ulegają zmianie nawet po radykalnym zdeformowaniu tych figur (a więc np.. położenie i sąsiedztwo).. Własności takie nazywa się własnościami topologicznymi figury.. Przez zdeformowanie rozumie się tutaj dowolne zniekształcenie powierzchni (poprzez zginanie i rozciąganie) bez jej rozerwania i "zlepienia" różnych punktów.. Najłatwiej wyobrazić to sobie, przyjmując, że powierzchnię figury wykonano z cienkiej powłoki gumowej.. Topologia jest jednym z najważniejszych działów matematyki.. Początki.. Rys historyczny.. Podstawowe pojęcia.. Zbiory otwarte.. Otoczenia.. Przestrzeń topologiczna.. Homeomorfizm.. Gałęzie topologii.. Topologia ogólna (54xx).. Topologia algebraiczna (55xx).. Topologia rozmaitości (57xx).. Topologia różniczkowa (57Rxx).. Teoria węzłów (57M25, 57M27, 57M30).. Topologiczna teoria wymiaru.. Topologia nieskończeniewymiarowa.. Teoria grafów (05Cxx).. Przykłady twierdzeń topologicznych i wniosków z nich płynących.. Przykład argumentacji topologicznej w analizie.. Polscy topolodzy.. Siedem mostów w Królewcu.. Królewiec.. przepływa rzeka dzieląc miasto na dwie części, na niej dodatkowo znajdują się dwie wyspy, co pokazuje ilustracja obok.. Zastanawiano się, czy możliwe jest przejście przez wszystkie mosty królewieckie, pokonując każdy z nich co najwyżej raz.. W postawionym problemie nieważne są odległości między mostami, ich długości, współliniowość punktów czy jakiekolwiek kąty.. Zagadnienie mostów królewieckich.. rozwiązał w 1736 r.. Leonhard Euler.. , który wykazał, że jest to niemożliwe.. Podobnie topologiczny charakter ma twierdzenie Eulera o.. wielościanach.. wypukłych.. , które mówi, że suma liczby wierzchołków takiego wielościanu oraz liczby jego ścian równa jest liczbie krawędzi powiększonej o dwa, jednak wynik nie zależy od długości krawędzi czy kątów (poza wypukłością).. Dziś o tym twierdzeniu mówi się jako o twierdzeniu o sferze dwuwymiarowej, uogólnionym przez.. Henriego Poincaré.. na dowolne wielościany, a przez.. Solomona Lefschetza.. na odwzorowania ciągłe wielościanów w siebie.. Wspomniane historycznie pierwsze wyniki topologiczne zostały uzyskane na długo przed ustanowieniem topologii jako osobnego działu matematyki, dlatego powszechnie uważa się Eulera za jej prekursora.. Twierdzenia te mają charakter.. kombinatoryczny.. , z tego też powodu poprzedniczkę dzisiejszej.. topologii algebraicznej.. nazywano niegdyś.. topologią kombinatoryczną.. Nieco inny charakter ma klasyczne.. twierdzenie Weierstrassa.. analizy.. każda funkcja ciągła rzeczywista zdefiniowana na odcinku domkniętym jest ograniczona i osiąga swoje kresy.. Podobnie jak w przypadku twierdzeń Eulera, wspomniane zdanie ma wymiar geometryczny, gdyż mówi o geometrycznych własnościach wykresów, ale różni się zasadniczo od twierdzeń geometrii klasycznej - takich jak na przykład.. twierdzenie Pitagorasa.. : w geometrii liczą się miary kątów, boków, powierzchni, ich proporcje oraz to, czy dane punkty leżą na jednej prostej,.. (takiej jak.. okrąg.. ), płaszczyźnie.. Wszystkie te zagadnienia nie mają znaczenia w powyższych przykładach twierdzeń topologicznych.. Za twórcę topologii uważa się.. Bernharda Riemanna.. , który jako pierwszy prowadził badania.. stricte.. topologiczne, choć jak już wspomniano, pewne wyniki, które dziś zaliczamy do topologii, znane były już wcześniej.. Jako osobna dziedzina matematyki topologia zaczęła się rozwijać u progu XX wieku, a przez kolejne 50 lat była najbujniej rozwijającą się dziedziną matematyki, w czym niemały udział mieli matematycy skupieni w.. polskiej szkole matematycznej.. W początkowym okresie rozwoju topologii matematycy określali nową dziedzinę jako.. geometria situs.. geometria położenia/miejsca.. ) lub.. analysis situs.. (łac.. analiza położenia/miejsca.. topologia.. był po raz pierwszy użyty w druku przez niemieckiego matematyka.. Johanna Benedicta Listinga.. w 1847.. , a około roku 1920 uznano powstanie nowej dziedziny matematyki i pewnych matematyków zaczęto określać jako.. topologów.. Jednymi z najważniejszych wydarzeń w historii topologii są:.. W 1854 Riemann wygłasza na.. uniwersytecie w Getyndze.. wykład habilitacyjny.. O hipotezach, jakie leżą u podstaw geometrii.. w którym wprowadził podstawy.. W końcu XIX w.. zainteresowany podzbiorami.. pojawiającymi się w teorii.. szeregów Fouriera.. rozwinął podstawy.. Rozważał on otwarte i domknięte podzbiory przestrzeni euklidesowych, a także operacje.. wnętrza.. domknięcia.. w tych przestrzeniach.. Wkrótce jego prace stały się podstawą wszelkich badań w topologii ogólnej.. W 1890.. Giuseppe Peano.. podał przykład.. ciągłego.. odwzorowania z.. odcinka.. na kwadrat.. Ten i inne przykłady.. krzywych Peano.. były bodźcem do rozwoju teorii.. W 1894.. Henri Poincaré.. wprowadził pojęcie.. grupy podstawowej.. i pokazał, że 2-wymiarowa powierzchnia zwarta (bez brzegu), o trywialnej grupie podstawowej, jest homeomorficzna z 2-wymiarową sferą.. Następnie próbował, bez sukcesu, dowieść analogicznej hipotezy, zwanej hipotezą Poincarego, dla rozmaitości 3-wymiarowych.. Udało się to dopiero.. Grigorijowi Perelmanowi.. 1895.. Henri Poincaré opublikował pracę.. Analysis Situs.. , w której wprowadził pojęcia.. homotopii.. i liczb Bettiego, które.. Emma Noether.. zastąpiła grupami.. homologii.. , i dał pierwsze systematyczne podejście do topologii ustalając podstawy.. W 1906.. Maurice Fréchet.. w swojej rozprawie doktorskiej.. (chociaż sam nie używał tej nazwy, a została ona nadana tego typu przestrzeniom później przez.. Felixa Hausdorffa.. Fréchet rozważał też abstrakcyjne struktury topologiczne zdefiniowane w terminach ciągów zbieżnych (co jest odzwierciedlone we współczesnej terminologii przez pojęcie.. przestrzeni Frécheta.. W 1914 r.. Felix Hausdorff.. wprowadził pojęcie przestrzeni topologicznej, a podana przez niego definicja obejmuje szeroką klasę przestrzeni znanych dzisiaj jako.. przestrzenie Hausdorffa.. (aksjomaty Hausdorff w zasadzie zaadaptował z wcześniejszych badań.. Hilberta.. , dotyczących szczególniejszej sytuacji z geometrii klasycznej).. Definicję przestrzeni topologicznej w terminach operacji domknięcia, równoważną z dziś powszechnie stosowaną, sformułował.. Początkowo jego definicja obejmowała.. przestrzenie T.. Zbiór otwarty.. Korzenie topologii tkwią w.. i często mówi się o topologii jako o jednej z geometrycznych dziedzin matematyki.. Z drugiej strony,.. topologia ogólna.. wyrosła z.. analizy matematycznej.. Zarówno w geometrii jak i w analizie ważnym pojęciem jest odległość.. Odległość można zdefiniować na wiele sposobów w przestrzeni euklidesowej, jak i w innych przestrzeniach.. Zbiór ze zdefiniowaną odległością (tzw.. metryką.. ) jest zwany.. przestrzenią metryczną.. Zauważono jednak, że wiele własności obiektów studiowanych w analizie może być scharakteryzowanych przy użyciu jedynie.. zbiorów otwartych.. bez potrzeby odwoływania się do pojęcia metryki.. Zbiory otwarte w przestrzeni metrycznej to takie zbiory, które są.. sumami.. (również nieskończonymi) kul otwartych, a więc zbiorów punktów odległych od zadanego punktu (środka) o mniej niż zadana odległość (promień).. Często okazuje się, że poznanie struktury zbiorów otwartych jest bardziej użyteczne niż badanie przestrzeni za pomocą metryki.. Przykład.. Zbiorem otwartym na płaszczyźnie jest np.. wnętrze.. dowolnego.. wielokąta.. Można je skonstruować jako sumę nieskończonej liczby wnętrz kół wypełniających wielokąt (coraz mniejszych przy jego brzegu).. Otoczenie (matematyka).. Przykład punktu brzegowego, do jego dowolnego otoczenia należą punkty ze zbioru, jak i punkty spoza niego.. to zbiory spełniające następujące warunki:.. Dla każdego punktu istnieje jakieś jego otoczenie, a każde otoczenie zawiera pewien punkt.. Jeśli punkt.. należy do otoczenia.. , to istnieje takie otoczenie punktu.. , które zawiera się w.. – intuicyjnie: skoro.. w pewnym sensie leży blisko.. , to istnieją punkty leżące w pobliżu zarówno.. Dla dowolnych dwóch otoczeń punktu.. istnieje otoczenie tego punktu, które się w nich zawiera.. Niektórzy autorzy do definicji dodają warunek, iż otoczenie musi być zbiorem otwartym.. Otoczenie punktu.. można sobie wyobrazić jako dowolną figurę, wewnątrz której znajduje się punkt.. Każdy punkt przestrzeni euklidesowej posiada nieskończenie wiele otoczeń, z których niektóre zawierają się w innych.. To zawieranie się otoczeń jest jedynym odpowiednikiem informacji o odległości danych punktów.. Z drugiej strony otoczenia zostają zachowane przy.. homeomorficznych.. przekształceniach przestrzeni, co sprawia, że są w topologii użytecznym narzędziem.. Mając dany zbiór punktów i bazę ich otoczeń możemy wygenerować przestrzeń topologiczną – wystarczy za zbiór otwarty uznać zbiór.. , dla którego nie istnieją.. punkty brzegowe.. , czyli takie, których wszystkie otoczenia zawierają zarówno punkty ze zbioru.. jak i spoza tego zbioru (patrz rysunek obok).. Jak już wspomniano, rodzinę zbiorów otwartych o rozsądnych własnościach (tzn.. zarówno.. jak i cała przestrzeń do tej rodziny należą, jeżeli należą do niej pewne zbiory, to należy do niej także ich dowolna, przeliczalna lub nieprzeliczalna.. suma.. oraz skończony.. ), nazywaną tak jak cała dziedzina –.. topologią.. – można wyodrębnić za pomocą metryki.. O takich przestrzeniach mówi się, że są.. metryzowalne.. Należą do nich dobrze znane.. przestrzenie euklidesowe.. prosta rzeczywista.. , płaszczyzna,.. przestrzeń trójwymiarowa.. Badane w topologii  ...   pytania:.. Czy wszystkie nieskończeniewymiarowe, ośrodkowe przestrzenie Banacha są homeomorficzne?.. Czy iloczyn topologiczny przestrzeni.. z kostką Hilberta jest homeomorficzny z kostką Hilberta?.. Drugie pytanie wymyślił i wpisał.. Karol Borsuk.. Księgi Szkockiej.. O odpowiedzi-rozwiązaniu przez matematyków-kolegów, James West poinformował uczestników konferencji w Baton Rouge (Louisiana State Univ.. , Baton Rouge, Luisina), tak określając dwa, niezależne dowody: Anderson--terrible argument;.. Andrzej Szankowski.. -- beautiful arument! (West mógł tak - nieco żartobliwie - powiedzieć, jako uczeń Andersona, obecnego w czasie wykładu na sali).. Podstawowym wczesnym pojęciem był Z-zbiór (patrz Chapman,.. Lectures on Hilbert Cube Manifoldes.. ISBN 0-8218-1678-0.. Wprowadzili je niezależnie, i opublikowali w tym samym czasie Anderson i.. Włodzimierz Holsztyński.. ( w różnych czasopismach; tylko pierwej wymieniona publikacja była zauważona).. Wśród wczesnych specjalistów między innymi należy wymienić.. Czesława Bessagę.. Victora Klee.. Fotografia dywanu, ilustrującego twierdzenie o czterech barwach.. Na pograniczu topologii oraz.. matematyki dyskretnej.. znajduje się ważna dziedzina, zwana teorią grafów.. Najprostszy.. graf.. można sobie wyobrazić jako zbiór punktów (tzw.. ), z których niektóre połączone są liniami (tzw.. krawędziami.. Historycznie pierwsze zadanie topologii, dotyczące mostów królewieckich, zalicza się do tej dziedziny.. Słynnym problemem teorii grafów, który bardzo długo opierał się udowodnieniu, było.. twierdzenie o czterech barwach.. , głoszące że dowolną mapę polityczną, gdzie każdy kraj składa się z jednego tylko kawałka (na sferze lub płaszczyźnie – to przypadki równoważne), można zabarwić używając tylko czterech kolorów tak, aby żadne dwa kraje mające wspólną granicę (dłuższą niż punkt) nie miały tego samego koloru (zobacz rysunek).. Waszyngtonie.. , w miejscu upamiętniającym.. amerykańskich.. marynarzy z czasów.. the United States Navy Memorial.. ) znajduje się mapa świata ułożona z materiałów tworzących chodnik na dużym placu (zobacz zdjęcia poniżej).. Z wyjątkiem zniekształceń na obwodzie tej mapy, jest ona.. ciągłą.. reprezentacją powierzchni.. Ziemi.. w pewnej skali.. Jednak wyłącznie na podstawie.. twierdzenia Banacha o odwzorowaniu zwężającym.. nie możemy powiedzieć, że jest punkt na tej mapie, który odpowiada samemu sobie (tzn.. ten punkt i jego reprezentacja na mapie pokrywają się).. Bowiem cała (idealizowana) powierzchnia Ziemi nie jest odwzorowana na mapę w sposób ciągły.. Możemy jednak ograniczyć się do powierzchni kontynentalnej części USA (bez Alaski).. Ponieważ cała mapa (chodnik) znajduje się w USA, to twierdzenie Banacha możemy zastosować wyłącznie do powierzchni USA: istnieje punkt powierzchni USA który na chodnikowej mapie jest reprezentowany przez samego siebie (t.. j.. reprezentujący go punkt mapy pokrywa się z nim).. Chodzi o to, że o ile cała powierzchnia Ziemi na mapie jest rozcięta, to powierzchnia kontynentalnego USA przedstawiona jest w sposób ciągły (i zwężający).. Gdy pojawiają się cięcia, to sprawa się komplikuje.. (Uwaga: Z Alaską na mapach różnie bywa – czasem jest pocięta, a czasem nie; skoro jednak cała mapa znajduje się na chodniku w części kontynentalnej USA, to o ewentualne pocięcie Alaski nie musimy się martwić).. US Navy Memorial.. w Waszyngtonie: mapa świata.. Fragment mapy świata przedstawiający Stany Zjednoczone.. W części mapy przedstawiającej Wschodnie Wybrzeże Stanów Zjednoczonych znajduje się dokładnie jeden punkt, który odpowiada samemu sobie w terenie.. Na podstawie.. twierdzenia Borsuka-Ulama.. możemy stwierdzić, że w każdym momencie są na.. dwa punkty.. antypodyczne.. , w których zarówno.. temperatura.. wilgotność.. powietrza są takie same, przy założeniu, że temperatura i ciśnienie zmieniają się w sposób ciągły.. Przypomnijmy, że twierdzenie Borsuka-Ulama mówi, że dla każdej.. ciągłej.. sferą.. -wymiarową) istnieją dwa punkty antypodyczne.. dla których.. Twierdzenie Lusternika-Schirelmanna-Borsuka.. mówi, że jeśli sfera.. jest pokryta przez.. zbiorów, z których każdy jest albo.. otwarty.. , albo.. domknięty.. , to jeden z tych zbiorów zawiera punkty antypodalne.. (Wersja otwarta wynika w sposób elementarny z wersji domkniętej, i odwrotnie).. Znana jest anegdota, według której twierdzenie to uratowało pewien wyimaginowany świat przed wielkim nieszczęściem:.. supermocarstwa.. Rosja, Prusy i Austria postanowiły zakończyć wszystkie waśnie i podzielić się strefami wpływów (oczywiście, oznaczałoby to, że mocarstwa te mogłoby wówczas spokojnie eksploatować narody im podległe).. Każde z mocarstw chciało otrzymać część planety w "wieczyste władanie".. Z powodów związanych z uzbrojeniem umieszczonym na satelitach, żadne z mocarstw nie chciało, aby inne mocarstwo miało pod swoją kontrolą jakiekolwiek dwa punkty antypodalne.. Lata prób nie doprowadziły do rozwiązania problemu, a ogłoszenie twierdzenia spowodowało, że trzy supermocarstwa zadowoliły się podziałem Polski.. Jeżeli spłaszczymy piłkę, to jakkolwiek byśmy jej przy tym nie deformowali (bez rozrywania), zawsze zetkną się jej dwa punkty antypodyczne.. Jest to poglądowe sformułowanie powyższego twierdzenia Borsuka-Ulama o antypodach.. Każdą kanapkę z żółtym serem można przeciąć nożem (czyli podzielić płaszczyzną) tak, by każda z dwóch części miała tyle samo chleba i sera co druga.. Twierdzenie Baire'a#Dowód Banacha twierdzenia o istnieniu funkcji ciągłych i nieróżniczkowalnych.. Metody topologiczne stosuje się w wielu rozważaniach matematycznych, począwszy od analizy, przez geometrię,.. równania różniczkowe.. , aż na.. skończywszy, gdyż dostarcza ona matematykom wspólnego języka umożliwiającego dość ogólne spojrzenie geometryczne na problemy.. Przykładem rozumowania topologicznego może być dowód twierdzenia o istnieniu funkcji ciągłej rzeczywistej, określonej na prostej rzeczywistej.. , która nie jest.. w żadnym punkcie.. Pierwszy, konkretny przykład takiej funkcji podał niemiecki matematyk.. Karl Weierstrass.. Poszukiwanie kolejnych tego typu przykładów nastręczało wiele trudności, zastanawiano się nad ogólną formą i liczbą takich funkcji.. Polski matematyk.. przedstawił w.. 1931.. topologiczny dowód istnienia takich funkcji:.. [0,1] oznacza przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych z odcinka [0,1] w zbiór liczb rzeczywistych.. [0,1] można wyposażyć w topologię.. zbieżności jednostajnej.. poprzez metrykę.. [0,1] jest.. przestrzenią polską.. ) w której zbiór.. ma pochodną w co najmniej jednym punkcie odcinka [0,1].. zupełna.. (a więc jest.. przestrzenią Baire'a.. ), to można powiedzieć, że z topologicznego punktu widzenia.. prawie każda.. funkcja ciągła nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie.. Interesującym jest fakt, że dowód ten wykazuje istnienie funkcji nieróżniczkowalnych w żadnym punkcie, jednak nie wskazuje konkretnego przykładu takiej funkcji.. Topologia jest jedną z tych dziedzin matematyki w których wkład polskich matematyków był i jest bardzo istotny.. Warszawska szkoła matematyczna.. była w centrum rozwoju topologii, ale również matematycy związani z.. lwowską szkołą matematyczną.. uzyskiwali wyniki istotne dla tej dziedziny.. Tradycje te są kontynuowane współcześnie przez wielu polskich matematyków pracujących w Kraju jak i poza jego granicami.. Wśród polskich matematyków wkład w rozwój topologii między innymi wnieśli:.. Janusz Jerzy Charatonik.. Czesław Bessaga.. Tadeusz Dobrowolski.. Roman Duda.. Samuel Eilenberg.. Ryszard Engelking.. Witold Hurewicz.. Zygmunt Janiszewski.. Jan Jaworowski.. Andrzej Kirkor.. Bronisław Knaster.. Antoni A.. Kosiński.. Krystyna Kuperberg.. Włodzimierz Kuperberg.. Jerzy Mogilski.. Stanisław Mrówka.. Andrzej Lelek.. Edward Marczewski.. Stefan Mazurkiewicz.. Jerzy Mioduszewski.. Jan Mycielski.. Hanna Patkowska.. Juliusz Paweł Schauder.. Karol Sieklucki.. Wacław Sierpiński.. Bronisław Wajnryb.. Kazimierz Zarankiewicz.. Wikimedia Commons.. ma galerię ilustracji związaną z tematem:.. Zobacz publikację na.. Topologia ogólna.. topologia algebraiczna.. topologia sieci komputerowej.. Richard Courant.. , Herbert Robbins:.. Co to jest matematyka?.. Prószyński i Spółka.. Warszawa 1998.. Wydanie uzupełnione przez Iana Stewarta.. Jerzy MIODUSZEWSKI.. MOSTY KRÓLEWIECKIE: DWIEŚCIE LAT PÓŹNIEJ.. Delta.. 4 (1981).. Mariusz Śliwiński:.. Mosty królewieckie.. math.. edu.. pl.. [dostęp 2014-09-11].. Johann Benedict Listing;.. Vorstudien zur Topologie.. ; Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen, pp.. 67, 1848.. Bernhard Riemann.. Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen.. Treść wykładu w j.. Henri Poincaré:.. Analysis situs.. "J.. de l'Éc.. Pol.. ", (2) I.. (1895), s.. 1-123.. Maurice Fréchet:.. Sur quelques points du calcul fonctionnel.. "Rend.. del Circ.. di Palermo", 22 (1906), s.. 1-74.. Sur l'opération.. de l'Analysis Situs.. ".. Fundamenta Mathematicae.. ", 3 (1922), s.. 182-199.. В.. Г.. Болтянский,.. Пример двумерного компакта, топологический квадрат которого имеет размерность равную трем.. , ДАН, 67 (1949), 597-599.. Włodzimierz Holsztyński,.. Une generalisation du théorème de Brouver sur les points invariants,.. Polon.. , 12 (1964), 603-609.. Na polskim rynku wydawniczym istnieją podręczniki akademickie poświęcone topologii, m.. in.. :.. Biblioteka Matematyczna.. Tom 47.. Państwowe Wydawnictwo Naukowe.. , Warszawa, 1975.. Ryszard Engelking ,.. Geometria i topologia.. Część II.. Tom 54.. , Warszawa, 1980.. ISBN 83-01-01371-0.. php?title=Topologia oldid=40399580.. Furlan.. Лезги.. Tę stronę ostatnio zmodyfikowano o 23:57, 11 wrz 2014..

    Original link path: /wiki/Topologia
    Open archive



  •  


    Archived pages: 2198